北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:立体几何Word格式.doc
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北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:立体几何Word格式.doc
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表面积是
A.B.
C.D.
【答案】D
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
(A)(B)(C)1(D)2
【答案】A
【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,,所以四个面中面积最大的为,且是边长为为2的正三角形,所以,选A.
6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱的长为_________.
【解析】取AC的中点,连结BE,DE由主视图可知.且.所以,即。
7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则⊥D.若,则
【答案】C
【解析】C中,当,所以,或当,所以⊥,所以正确。
8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是
(A)(B)(C)(D)
【解析】由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以该几何体的底面积为,侧面积为,所以表面积为,选B.
9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是()
(A)(B)(C)(D)
【解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,.所以六条棱中,最大的为或者.,所以,此时。
所以,所以棱长最大的为,选C.
10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是
A.B.C.D.
【解析】过做底面于O,连结, 则,即为三棱锥的高,设,则由题意知,所以有,即。
三角形,所以四面体的体积为,当且仅当,即时,取等号,所以四面体的体积的最大值为,选A.
11、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是()
A.B.C.D.正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
2
3
1
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为2,底面三角形的高为3,底面边长为3,所以底面积为,所以该几何体的体积为,选B.
二、解答题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(I)连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点,
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II)证明:
由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
所以…………………………………………..9分
(III)解法一:
在线段上存在点,使.理由如下:
如图,取中点,连接.
在四棱锥中,,
所以.…………………………………………………………………..11分
由(II)可知,而
所以,
因为
所以………………………………………………………….13分
故在线段上存在点,使.
由为中点,得……………………………………………14分
解法二:
由且底面是正方形,如图,
建立空间直角坐标系
由已知设,
则
设为线段上一点,且,则
…………………………..12分
由题意,若线段上存在点,使,则,.
所以,,
故在线段上存在点,使,且……………………14分
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中,,点在棱上,且.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)在棱上是否存在点,使∥平面?
若存在,求出线段的长;
若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求棱的长.
【答案】证明:
(Ⅰ)在长方体中,
因为面,
所以.……………………2分
在矩形中,因为,
所以.
所以面.…………………………4分
(Ⅱ)如图,在长方体中,以为原点建立空间直角坐标系.
依题意可知,,,
设的长为,则,
.
假设在棱上存在点,使得∥平面.
设点,则,
易知.
设平面的一个法向量为,
则,即.………………………………………………7分
令得,,所以.
因为∥平面,等价于且平面.
得,所以.
所以,,所以的长为.………………………………9分
(Ⅲ)因为∥,且点,
所以平面、平面与面是同一个平面.
由(Ⅰ)可知,面,
所以是平面的一个法向量.………………………………11分
由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为.
因为二面角的余弦值为,
所以,解得.
故的长为.…………………………………………………………14分
3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图,在菱形中,,是的中点,⊥平面,且在矩形中,,A
B
C
D
E
N
M
⊥;
//平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(Ⅰ)连结,则.
由已知平面,
F
A
y
x
z
因为,
所以平面.……………………2分
又因为平面,
所以.……………………4分
(Ⅱ)与交于,连结.
由已知可得四边形是平行四边形,
所以是的中点.
因为是的中点,
所以.…………………………7分
又平面,
平面,
所以平面.……………………………………………………………9分
(Ⅲ)由于四边形是菱形,是的中点,可得.
如图建立空间直角坐标系,则,,,
.
,.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
所以
令.所以.……………………………………12分
又平面的法向量,
所以.
所以二面角的大小是60°
.………………………………………14分
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】
在长方体中,,,为中点.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?
若存在,求的长;
若不存在,说明理由.
连接
∵是长方体,
∴平面,
又平面
∴………………1分
在长方形中,
∴………………2分
又
∴平面,………………3分而平面
∴………………4分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则
设平面的法向量为,则
令,则………………7分
………………9分
所以与平面所成角的正弦值为………………10分
(Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.
设的坐标为,则因为∥平面
所以,即,,解得,………………13分
所以在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……14分
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,,°
平面PAB平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.
DE‖平面PBC;
ABPE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.
(Ⅰ)D、E分别为AB、AC中点,
_
P
\DE//BC.
DEË
平面PBC,BCÌ
平面PBC,
\DE//平面PBC.…………………………4分
(Ⅱ)连结PD,
PA=PB,
PDAB.…………………………….5分
,BCAB,
DEAB..................................................................6分
又,
AB平面PDE.................................................8分
PEÌ
平面PDE,
ABPE.......................................................9分
(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,
PD平面ABC.............................................10分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),
=(1,0,),=(0,,).
设平面PBE的法向量,
令
得.........11分
DE平面PAB,
平面PAB的法向量为.…………...................12分
设二面角的大小为,
由图知,,
所以即二面角的大小为..........
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