函数的连续性Word文档下载推荐.doc
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(2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性,对较好学生布置有关习题.
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一函数在一点的连续
先回顾一下函数在点的极限
设函数在的某个空心邻域内有定义,是一个确定的数,若对,当时,都有,则称在时,以为极限。
这里可以有三种情况
1)无定义,比如上章讲过的特殊极限
2),比如,
3)
对1,2两种情况,曲线在处都出现了间断;
第3种情况与前两种情况不同,曲线在处连绵不断,我们称这种情况为,在处连续。
定义1设函数在的某邻域内有定义,若
则称函数在点连续。
例如函数在点连续,因为
又如,函数在处连续。
因为
若记则可等价的叙述为,于是函数在点连续的定义又可以叙述为
定义1
(2)设函数在的某邻域内有定义,若
则称在点连续。
另外,由于函数在点连续是用极限形式表述的,若将改用语言叙述,则在点连续又可以定义为:
定义1(3)设函数在的某邻域内有定义,若对,使得当时,都有
,
注意函数在点连续,不仅要求在点有定义,而且要求时,
的极限等于,因此这里在极限的“”语言叙述中把
“”换成了“”。
最后,式又可表示为
,
可见“在连续”意味着极限运算对应法则的可交换性。
例1证明函数在点连续,其中为狄利克雷函数。
证明由及,对于任意的,为使
只要取,即可按定义推得在连续。
相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下:
定义2设函数在的某左(右)邻域内有定义,若
()
则称在点左(右)连续。
由极限与单侧极限的关系不难得出:
定理4.1函数在点连续的充分必要条件为:
在点既左连续又右连续。
例2讨论函数在的连续性。
2
-2
解因为
所以在右连续,但不左连续,从
而在不连续。
二间断点及其分类
定义3设函数在某内有定义。
若
在点无定义,或在点有定义但不连续,则称点为函数的间断点或不连续点。
由连续的定义知,函数在点不连续必出现如下情形:
1),而在点无定义,或有定义但
2)左、右极限都存在,但不相等,称为跳跃度
3)左、右极限至少一个不存在
据此,函数的间断点可作如下分类:
1.可去间断点情况1)称为
可去间断点(或可去不连续点);
例,
是的可去间断点。
例,是的可去间断点。
2.跳跃间断点情况2)称为可跳跃间断点;
情况1),2)统称第一类间断点。
例因为,所以的整数点为跳跃间断点,跳跃度等1.
-2
-4
-4-3-2-1
-1
-3
x
o
4
3
1
12345
例因为
所以在处为跳跃间断点,跳跃度等2.
3.情况3)称为可第二类间断点;
例不存在,所以是的第二类不连续点。
为了加强理解和记忆,我们画出两类不连续点的图象(c41)
subplot(2,2,1)
ezplot('
sin(x)/x'
[-0.5,0.5])
holdon
plot(0,1,'
r*'
)
subplot(2,2,2)
sin(x)+sign(x)'
[-pi/3,pi/3])
plot(0,0,'
),
subplot(2,2,3)
sin(1./x)'
subplot(2,2,4)
abs(1./(x+eps))'
[-0.5,0.5]),
holdon
plot(0,28,'
)
三区间上的连续函数
定义若函数在区间I上每一点都连续,则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。
例如,是内的连续函数,在的每一点都连续,在左连续性,在右连续性,因而是上的连续函数(参见上章§
1的例题)。
定义如果在区间上仅有有限个第一类不连续点,则称函数在间上按段连续。
例如是按段连续函数。
例3讨论黎曼函数
及内的无理数
,(p,q)为正整数,p/q为既约真分数
的连续性
证明设为无理数,任给,满足正数显然只有有限个(但至少有有一个,如),从而使的有理数只有有限个(至少有有一个,如),设为,取
(显然)
则对任何当x为有理数时有,当x为无理数时.于是,对任何,总有
这就证明了在无理点处连续。
现设为内任一有理数,取,对任何正数(无论多么小),在内总可取无理数,使得
所以在任何有理点处都不连续。
小结:
1)函数在一点连续的三个等价定义;
2)函数的左右连续性;
3)不连续的分类:
可去不连续点;
跳跃不连续;
第二类不连续点;
4)区间上连续函数的定义。
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