函数的概念与表示知识点与经典题型归纳Word格式文档下载.doc
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5.区间的概念
设是两个实数,而且.我们规定:
(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间,表示为.
(2)满足不等式的实数的集合叫做开区间,表示为.
(3)满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别表示为,.
这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数可以用区间表示为.“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”,我们可以把满足,,,,的实数的集合分别表示为,
,,.
6.函数的表示法
(1)解析法:
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.
(2)列表法:
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
(3)图像法:
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤:
列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).
7.求函数的解析式的方法
(1)待定系数法:
适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.
(2)换元法:
适用于已知的解析式,求.
(3)消元法:
适用于同时含有和,或和.
8.分段函数
在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数.
9.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则,使对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。
由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
e线聚焦
【例1】下列图象中不能作为函数的是().
ABCD
解:
答案为B.因为B中存在,使得有两个与之对应.
【例2】已知函数.
(1)求函数的定义域.
(2)求,的值.
(3)当时,求,的值.
(1)使得有意义的实数的集合是,
使得有意义的实数的集合是,
所以,这个函数的定义域就是.
(2)
(3)因为,所以,有意义,
【例3】已知的定义域为,求的定义域.
由题意知,,所以
所以的定义域为
【例4】求下列函数的值域.
(1)
(3)
(4)
(1)因为,所以,
所以的值域为.(观察法)
(2)配方,得
又,所以,
所以的值域为.(配方法)
因为,所以
所以的值域为.(分离常数法)
(4)设,则且
所以即
所以的值域为.(换元法)
【例4】下列函数中哪个与函数相等()
A.B.C.D.
函数的定义域为,对应法则为.
A中的定义域为,所以与不是同一个函数;
B中的定义域为,且;
与的定义域和对应法则都相同,所以为同一函数;
C中的定义域为,但,所以与不是同一个函数;
D中的定义域为,所以与不是同一个函数.
所以,应选B.
【例4】某种笔记本的单价是5元,买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.
这个函数的定义域是数集
用解析法表示为
列表法表示如下:
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
10
15
20
25
用图象法可将函数表示如下图:
(1)函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等。
(2)函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式的时候,一般要写出函数的定义域。
【例5】已知,求和.
令,则,
所以,
所以.
此方法为换元法.
【例6】已知是一次函数,,求的解析式.
设,
则
对比系数得解得或
所以函数的解析式为或.
此方法为待定系数法,适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).
【例7】已知,求的解析式.
用代替得
所以消去
解得
此方法为消元法求函数的解析式,适用于同时含有和,或和.
【例8】已知函数
(1)求的值.
(2)若,求的值.
(2)①若,则,解得,不满足,舍去;
②若,则,解得或,不满足,舍去;
所以;
③若,则,解得,不满足,舍去.
【例9】画出函数的图象.
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图:
【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
设票价为元,里程为公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定,可得到以下函数解析式:
双基淘宝
u仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1.下列说法正确的是( )
A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域可以是空集
C.函数的定义域和值域一定是数集
D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了
2.下列说法中正确的为( )
A.y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数
B.y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一函数
C.f(x)=1与f(x)=x0表示同一函数
D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
3.下列函数完全相同的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=()2
B.f(x)=|x|,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x+3
4.图中
(1)
(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x,y的对应关系,其中表示y是x的函数关系的有________.
5.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A.A={-1,0,1},B={0,1},f:
A中的数平方
B.A={0,1},B={-1,0,1},f:
A中的数开方
C.A=Z,B=Q,f:
A中的数取倒数
D.A=R,B={正实数},f:
A中的数取绝对值
6.下列两个函数是否表示同一个函数
7.求下列函数的定义域
8.已知函数的定义域为,求的定义域.
9.求下列函数的值域
(1)
10.已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f
(2),g
(2)的值;
(2)求f(g
(2))的值.
11.已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.
12.画出下列函数的图象:
13.已知二次函数的图象过点,,其对称轴为,求其解析式.
14.已知,求的解析式.
15.已知,求的解析式.
16.已知,求的值.
17.已知,求使得成立的的取值范围.
18.某市居民自来水收费标准如下:
每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元,当用水超过4吨,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户居民共缴水费元,已知甲、乙两户的用水量分别为、(吨).
(1)求关于的函数;
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
8
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