函数的奇偶性经典例题文档格式.doc

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提示：

①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；

②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；

③正确；

④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案为A．

（2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　

A．，b＝0B．，b＝0C．，b＝0D．，b＝0

由为偶函数，得b＝0．

　　又定义域为［］，∴，∴．故答案为A．

（3）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则）在R上的

表达式是（　　）

　A．　B．C．D．　　

由时，，是定义在R上的奇函数得：

当x＜0时，，

∴，即，答案为D．

（4）已知，且，那么f

（2）等于　　

为奇函数，，∴，∴．

（5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为

由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：

，∴

例2．判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：

（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．

（2），∴∴既是奇函数又是偶函数．

（3）由得定义域为，∴，

∵∴为偶函数

（4）当时，，则，

当时，，则，

综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．

例3．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：

．

解：

由已知得

因f（x）是奇函数，故，于是．

又是定义在（1，1）上的增函数，从而

即不等式的解集是．

例4．已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又．

（1）求证：

为奇函数；

（2）求证：

在R上是减函数；

（3）求在[，6]上的最大值与最小值．

（1）证明：

令，可得，从而，f（0）=0．

令，可得，即，故为奇函数．

（2）证明：

设∈R，且，则，于是．从而

所以，为减函数．

（3）解：

由

（2）知，所求函数的最大值为，最小值为．

于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．

【课内练习】

1．下列命题中，真命题是（C）

A．函数是奇函数，且在定义域内为减函数

B．函数是奇函数，且在定义域内为增函数

C．函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数

D．函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数

A中，在定义域内不具有单调性；

B中，函数的定义域不关于原点对称；

D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C．

2．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）

A．最小值－5　　B．最大值－5C．最小值－1　　　D．最大值－3

、为奇函数，∴为奇函数．

又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．

∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C．

3．定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）

A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞）

C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3）

由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．

4.已知函数是偶函数，在［0，2］上是单调减函数，则（A）

A. B.

C.D.

由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴在［－2，0］上单调递减.

∵是偶函数，∴在［0，2］上单调递增.又，故应选A.

5．已知奇函数，当∈（0，1）时，lg，那么当∈（－1，0）时，的表达式是．

当（－1，0）时，∈（0，1），∴．

6．已知是奇函数，则＋=2008．

，，解得：

，经检验适合，．

7．若是偶函数，当∈［0，+∞）时，，则的解集是

偶函数的图象关于y轴对称，先作出的图象，由图可知的解集为，∴的解集为.

8．试判断下列函数的奇偶性：

（2）；

（3）．

（1）函数的定义域为R，，

故为偶函数．

（2）由得：

，定义域为，关于原点对称，

，，故为奇函数．

（3）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．

9．已知函数对一切，都有，若，用表示．

显然的定义域是，它关于原点对称．在中，

令，得，

令，得，∴，

∴，即，∴是奇函数．

∵，∴．

10．已知函数是奇函数，又，，，求、、的值.

由得∴c=0.又，得，

而，得，解得.

又，∴或.

若，则b=，应舍去；

若，则b=1∈Z.

∴.