函数的奇偶性教案Word文档下载推荐.doc
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“对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性?
提出问题
①如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
结论:
这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?
填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x2
表1
f(x)=|x|
表2
这两个函数的解析式都满足:
f(-3)=f(3);
f(-2)=f
(2);
f(-1)=f
(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x).
定义:
1.偶函数
一般地,对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么就叫做偶函数.
观察函数f(x)=x和f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质?
2.奇函数
一般地,对于函数的定义域的任意一个,都有,那么就叫做奇函数.
注意:
1、如果函数是奇函数或偶函数,我们就说函数具有奇偶性;
函数的奇偶性是函数的整体性质;
2、根据奇偶性可将函数分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函
数也不是偶函数;
3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个,则也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;
4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数且
奇函数的图象关于原点对称;
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.
且f(0)=0
5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称;
(2)、再判断或是否恒成立;
(3)、作出相应结论.
若;
若
例.判断下列函数的奇偶性
(1)为非奇非偶函数
(2)为非奇非偶函数
(3)奇函数
(4)
(5)f(x)=x+;
奇函数
(6)奇函数
(7)既是奇函数又是偶函数
(8)为非奇非偶函数
常用结论:
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
1.3.2
(2)函数的奇偶性
一.分段函数奇偶性的判断
例1.判断函数的奇偶性:
解:
当>0时,-<0,于是
当<0时,->0,于是
综上可知,是奇函数.
练习:
1.证明,是奇函数.
例2.为R上的偶函数,且当时,,则当时,x(x+1)若f(x)是奇函数呢?
二.已知函数的奇偶性求参数值:
例3、已知函数是偶函数,求实数的值.
∵是偶函数,∴恒成立,
即恒成立,
∴恒成立,∴,即.
1.如果二次函数是偶函数,则 0.
2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=b=0
三.构造奇偶函数求值
例4、已知函数,若,求的值。
【解】方法一:
由题意得①
②①+②得
∵,∴
方法二:
构造函数,则一定是奇函数,又∵
∴因此所以,即.
练习1.已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=( -15 )
2.若,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5,
则f(x)在(-∞,0)上有最小值-1
单调性与奇偶性
例1.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
例2.设函数f(x)对任意x,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f
(1)=-1
(1)求证:
f(x)是奇函数
(2)判断f(x)的单调性并证明
(3)试问当-3≤x≤3时f(x)是否有最值?
如果有,求出最值;
如果没有说出理由
5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的,都有
(1)、求的值;
0,0
(2)、判断函数的奇偶性,并加以证明奇
4、函数是R上的偶函数,且在上单调递增,则下列各式成立的是
(B)
A.B.
C.D.
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