函数的单调性与最值练习题Word格式文档下载.doc
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4.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( )
A.(-∞,1] B.[-1,]
C.[0,) D.[1,2)
5.函数y=()2x2-3x+1的递减区间为( )
A.(1,+∞) B.(-∞,)
C.(,+∞) D.[,+∞)
6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f()>
0>
f(-),则方程f(x)=0的根的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题
7.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
8.函数f(x)=,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________.
9.已知函数f(x)=(a≠1),若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________.
三、解答题
10.已知函数f(x)对任意的a,b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>
0时,f(x)>
1.
(1)求证:
f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<
3.
11.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>
0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
12.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都成立,求t的取值范围.
详解答案
1.解析:
A选项中,函数y=x3是奇函数;
B选项中,y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;
C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数;
D选项中,y=2-|x|=()|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.
答案:
B
2.解析:
由题意可知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.
A
3.解析:
据单调性定义,f(x)为减函数应满足:
即≤a<
4.解析:
由2-x>
0,得x<
2,即函数定义域是(-∞,2).作出函数y=|ln(-x)|的图象,再将其向右平移2个单位,即函数f(x)=|ln(2-x)|的图象,由图象知f(x)在[1,2)上为增函数.
D
5.解析:
作出t=2x2-3x+1的示意图如右,
∵0<
<
1,
∴y=()t单调递减.
要使y=()2x2-3x+1递减,
只需x∈[,+∞].
6.解析:
因为在(0,+∞)上函数递减,且f()·
f(-)<
0,又f(x)是偶函数,
所以f()·
f()<
0.
所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
又因为f(x)是偶函数,则它在(-∞,0)上也有唯一的零点,故方程f(x)=0的根有2个.
C
7.解析:
由题意知,函数f(x)=log5(2x+1)的定义域为{x|x>-},且函数y=log5u,u=2x+1在各自定义域上都是增函数,所以该函数的单调增区间为(-,+∞).
(-,+∞)
8.解析:
由条件知,g(x)=
如图所示,其递减区间是[0,1).
[0,1)
9.解析:
当a-1>
0,即a>
1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,
则需3-a×
1≥0,此时1<
a≤3.
当a-1<
0,即a<
1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,
则需-a>
0,此时a<
所以,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]
(-∞,0)∪(1,3]
10.解:
(1)证明:
任取x1,x2∈R,且x1<
x2,
∵f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,
又x2-x1>
0,∴f(x2-x1)>
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>
0,即f(x2)>
f(x1).
∴f(x)是R上的增函数.
(2)令a=b=2,得f(4)=f
(2)+f
(2)-1=2f
(2)-1,
∴f
(2)=3,
而f(3m2-m-2)<
3,∴f(3m2-m-2)<
f
(2).
又f(x)在R上是单调递增函数,
∴3m2-m-2<
2.
∴3m2-m-4<
0,解得-1<
m<
.
故原不等式的解集为(-1,).
11.解:
任设x1<
x2<
-2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
∵(x1+2)(x2+2)>
0,x1-x2<
0,
∴f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2),.
∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)任设1<
x1<
x2,则
f(x1)-f(x2)=-=.
∵a>
0,x2-x1>
∴要使f(x1)-f(x2)>
0,只需(x1-a)(x2-a)>
0恒成立,∴a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].
12.解:
∵f(x)是奇函数,
∴f
(1)=-f(-1)=1,
又f(x)是[-1,1]上的奇函数,
∴当x∈[-1,1]时,f(x)≤f
(1)=1.
又函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,
∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0,
设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,
则⇔t≥2或t=0或t≤-2.
即所求t的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
5
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