函数的单调性与最值(含例题详解)文档格式.doc
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只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;
如有多个单调区间应分别写,不能用并集
符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
2.两函数f(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但
f(x)·
g(x),等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.
[试一试]
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=ln(x+2) B.y=-
C. D.y=x+
解析:
选A 选项A的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.
2.函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;
f(x)max=________.
函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
答案:
[1,4] 8
二、方法归纳
1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法:
取值、作差、变形、定号、下结论;
(2)复合法:
同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数;
(3)图像法:
如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性
判断函数单调性.
(4)导数法:
利用导函数的正负判断函数单调性.
2.求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图像法:
先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)换元法:
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不
等式求出最值.
(5)导数法:
先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
提醒:
在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.
[练一练]
1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y= B.y=e-x
C.y=-x2+1 D.y=lg|x|
C
2.函数f(x)=在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________.
三、考点精练
考点一求函数的单调区间
1、函数的单调增区间是________.
要使有意义,则,即,而为
上的增函数,当时,u=2x+1也为R上的增函数,故原函数的单调增区间是
.
2.函数y=x-|1-x|的单调增区间为________.
y=x-|1-x|=
作出该函数的图像如图所示.
由图像可知,该函数的单调增区间是(-∞,1].
(-∞,1]
3.设函数y=f(x)在内有定义.对于给定的正数k,定义函数取函数,当k=时,函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
选C 由f(x)>
,得-1<
x<
1.
由f(x)≤,得x≤-1或x≥1.
所以,故的单调递增区间为(-∞,-1).
[解题通法]
求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即:
(1)定义法;
(2)复合法;
(3)图像法;
(4)导数法.
考点二函数单调性的判断
[典例] 试讨论函数的单调性.
[解] 法一:
由解析式可知,函数的定义域是.在(0,+∞)内任取,
,令,那么
因为,所以,.
故当时,,即函数在上单调递增.
当时,,即函数在上单调递减.
考虑到函数是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调
性,故在单调递增,在上单调递减.
综上,函数f(x)在和上单调递增,在和上单调
递减.
1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底.
2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确.
[针对训练]
判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.
解:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<
x2,
则,
由于1<
x1<
x2,所以x1-x2<
0,(x1-1)(x2-1)>
0,
因此g(x1)-g(x2)<
0,即g(x1)<
g(x2).
故g(x)在(1,+∞)上是增函数.
考点三函数单调性的应用
角度一 求函数的值域或最值
1.已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>
0时,f(x)<
f
(1)=-.
(1)求证:
f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明:
∵函数f(x)对于任意x,y∈R,
总有f(x)+f(y)=f(x+y),∴令x=y=0,得f(0)=0.
再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>
x2,则x1-x2>
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵当x>
而x1-x2>
0,∴f(x1-x2)<
0,即f(x1)<
因此f(x)在R上是减函数.
(2)∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).
而f(3)=3f
(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小
2.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )
A.f(x1)<
0,f(x2)<
0 B.f(x1)<
0,f(x2)>
C.f(x1)>
0 D.f(x1)>
选B ∵函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f
(2)=0,∴当x1∈(1,2)
时,f(x1)<
f
(2)=0,当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>
f
(2)=0,即f(x1)<
0.
角度三 解函数不等式
3.已知函数则不等式f(a2-4)>
f(3a)的解集为( )
A.(2,6) B.(-1,4)
C.(1,4) D.(-3,5)
选B 作出函数f(x)的图像,如图所示,则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)>
f(3a),可得a2-4<
3a,整理得a2-3a-4<
0,即(a+1)(a-4)<
0,解得-1<
a<
4,所以不等式的解集为(-1,4).
角度四 求参数的取值范围或值
4.已知函数满足对任意的实数,都有成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2) B.
C.(-∞,2] D.
选B 函数f(x)是R上的减函数,
于是有,由此解得a≤,
即实数a的取值范围是.
1.含“f”不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>
f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.
2.比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.
巩固练习
一、选择题
1.“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间[1,+∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A 解析:
f(x)对称轴x=a,当a≤1时f(x)在[1,+∞)上单调递增.∴“a=1”为
f(x)在[1,+∞)上递增的充分不必要条件.
2.已知函数,若f(2-a2)>
f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)
C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C 解析:
由题知f(x)在R上是增函数,由题得2-a2>
a,解得-2<
3.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
解析:
由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x,y2=x+2,y3=10-x中的较小者,作出三
个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图
象的最高点.
4.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
D 解析:
f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于g(x),只有当a>
0时,它有两个减区
间为(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可,则a
的取值范围是0<
a≤1.
5.已知定义在R上的增函数f(x),满足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>
0,x2+x3>
0,x3+x1>
0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )
A.一定大于0 B.一定小于0
C.等于0 D.正负都有可能
A 解析:
∵f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).
又∵x1+x2>
0,∴x1>
-x2,x2>
-x3,x3>
-x1.
又∵f(x1)>
f(-x2)=-f(x2),f(x2)>
f(-x3)=-f(x3),f(x3)>
f(-x1)=-f(x1),
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)>
-f(x2)-f(x3)-f(x1).
0.]
二、填空题
6.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
7.设f(x)是增函数,则下列结论一定正确的是________(填序号).
①y=[f(x)]2是增函数;
②y=是减函数;
③y=-f(x)是减函数;
④y=|f(x)|是增函数.
[0,]
画图象如图所示:
可知递增区间为[0,].
8.设0<
1,则函数y=+的最小值是________.
答案:
4
解析 y=+=,当0<
1时,x(1-x)=-
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- 函数 调性 例题 详解