典型例题:用放缩法证明不等式Word格式.doc
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例1.设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证。
证明:
由题设得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b,又a+b>0,得a+b>1,又ab<(a+b)2,而(a+b)2=a+b+ab<a+b+(a+b)2,即(a+b)2<a+b,所以a+b<,故有1<a+b<。
例2.已知a、b、c不全为零,求证:
因为,同理,。
所以
二.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。
例3.已知a、b、c为三角形的三边,求证:
。
由于a、b、c为正数,所以,,,所以,又a,b,c为三角形的边,故b+c>a,则为真分数,则,同理,,
故.
综合得。
三.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4.已知n∈N*,求。
因为,则
,证毕。
例5.已知且,求证:
对所有正整数n都成立。
因为,所以,
又,
所以,综合知结论成立。
四.公式放缩
利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。
例6.已知函数,证明:
对于且都有。
由题意知
,又因为且,所以只须证,又因为
所以。
例7.已知,求证:
当时。
证毕。
五.换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。
例8.已知,求证。
因为,所以可设,,所以则,即。
例9.已知a,b,c为△ABC的三条边,且有,当且时,求证:
证明:
由于,可设a=csina,b=ccosa(a为锐角),因为,,则当时,,,
六.单调函数放缩
根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。
例10.已知a,b∈R,求证。
构造函数,首先判断其单调性,设,因为,所以,所以在上是增函数,取,,显然满足,
所以,
即。
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