关于运用放缩法的数列不等式证明Word下载.doc
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(1)(;
(2)
(3)
(4);
(5)
(6))
(7)
已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足,且
(1)求{}的通项公式;
(2)设数列{}满足,并记为{}的前n项和,求证:
(Ⅰ)解:
由,解得a1=1或a1=2,由假设a1=S1>1,因此a1=2。
又由an+1=Sn+1-Sn=,
得an+1-an-3=0或an+1=-an
因an>0,故an+1=-an不成立,舍去。
因此an+1-an-3=0。
从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项为an=3n-2。
(Ⅱ)证法一:
由可解得
;
从而。
因此。
令,则
。
因,故
.
特别的。
从而,
即。
证法二:
同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当c>0时,不等式
成立。
由此不等式有
=。
证法三:
令An=,Bn=,Cn=。
因,因此。
从而
>
在数列中,,,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明不等式,对任意皆成立.
(Ⅰ)证明:
由题设,得
,.
又,所以数列是首项为,且公比为的等比数列.
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)可知,于是数列的通项公式为
.
所以数列的前项和.
(Ⅲ)证明:
对任意的,
所以不等式,对任意皆成立.
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,u)(u,N+),其中为正实数.
(Ⅰ)用xx表示xn+1;
(Ⅱ)若a1=4,记an=lg,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<
3.
解析:
本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力.
(Ⅰ)由题可得.
所以曲线在点处的切线方程是:
即.
令,得.
显然,∴.
(Ⅱ)由,知,同理.
故.
从而,即.所以,数列成等比数列.
故.
从而
所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
∴
当时,显然.
当时,
综上,.
已知实数列等比数列,其中成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和记为证明:
<128…).
解:
(Ⅰ)设等比数列的公比为,
由,得,从而,,.
因为成等差数列,所以,
即,.
所以.故.
(Ⅱ).
设数列的首项.
(1)求的通项公式;
(2)设,证明,其中为正整数.
解:
(1)由
整理得 .
又,所以是首项为,公比为的等比数列,得
(2)方法一:
由
(1)可知,故.
那么,
又由
(1)知且,故,
因此 为正整数.
方法二:
由
(1)可知,
因为,
所以 .
由可得,
即
两边开平方得 .
即 为正整数.
已知数列中,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列中,,,
证明:
(Ⅰ)由题设:
,
所以,数列是首项为,公比为的等比数列,
即的通项公式为,.
(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当时,因,,所以
,结论成立.
(ⅱ)假设当时,结论成立,即,
也即.
又,
所以
也就是说,当时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知,.
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- 关于 运用 放缩法 数列 不等式 证明