全国2卷数学试卷及参考答案Word格式.docx
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A. B. C. D.
7.为计算,设计了右侧的程序框图,
则在空白框中应填入()
A.
B.
C.
D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为()
10.若在是减函数,则的最大值是()
11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则()
12.已知,是椭圆的左、右焦点交点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为()
二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.若满足约束条件,则的最大值为_________.
15.已知,,则__________.
16.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为.若的面积为,则该圆锥的侧面积为_________.
三、解答题:
共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题。
每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(12分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:
亿元)的折线图.
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年数据(时间变量的值依次为)建立模型①:
:
根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
19.(12分)
设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于两点。
(1)求的方程;
(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.
20.(12分)
如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函数.
(1)若,证明:
当时,;
(2)若在只有一个零点,求.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一部分计分。
22.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
(10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
23.【选修4-5:
不等式选讲】
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
理科数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
C
12.解:
二、填空题
13.14.915.16.
16.设母线长为a,
三、填空题
17.解:
(1)由可得:
,所以,所以
(2)
18.解:
(1)①,
(2)对于模型①,当年份为2016年时,
对于模型②,当年份为2016年时,
比较而言,②的准确度高,误差较小,所以选择②
19.解:
(1)∵F(1,0),设直线,联立
,∵,∴k=1,所以直线方程
(2)设AB的中点为N(),设圆心为M(a,b),所以圆的半径r=a+1
因为,所以MN的方程为,即
所以,由垂径定理:
即:
解得:
所以圆的方程为:
和
20.证明:
连接BO,因为AB=BC,则BO⊥AC,所以BO=2
又因为在△PAC中,PA=PC=4,所以PO⊥AC,且,因为,
所以PO⊥BO,从而平面;
(2)以为x轴,以为y轴,以为z轴,设,B(2,0,0),C(0,2,0)A(0,-2,0)
P(0,0,),设M(x,y,0),所以,所以
设平面PAC的法向量为,设平面MPA的法向量为,所以
因为二面角为,所以得
设与平面所成角为,所以
21解:
(1)当a=1,
当,所以
所以,所以
(3)令,令,
当,
所以
①当
②当
③
22.
(1)曲线C的直角坐标方程:
直线L直角坐标方程:
(2)联立与
23.
(1)当时,,所以不等式的解集为
(2)若,则,因为
所以只需要
综上:
a的取值范围为
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