任意角的三角比精品讲义文档格式.doc
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终边落在坐标轴上:
【象限角的集合表示】
第一象限角:
第二象限角:
第三象限角:
第四象限角:
【几类特殊角的表示】
终边在第一、三象限角平分线:
终边在第二、四象限角平分线:
终边在x轴上方:
终边在x轴下方:
终边在y轴右侧:
终边在y轴左侧:
终边关于x轴对称的两个角:
终边关于y轴对称的两个角:
二、例题分析
例1、下列命题中是真命题的是 ()
A.小于90°
的角是锐角;
B.若是锐角,则的终边在第一象限;
C.若角与角的终边相同,则=;
D.若的终边在第一象限,则是正角。
例2、在下列各角中与330°
角的终边相同的是 ()
A.510°
B.150°
C.﹣60°
D.﹣390°
例3、将下列各角化成+2k(0≤≤2,k∈Z)的形式,并指出它们是第几象限的角:
(1);
(2)﹣315°
;
(3)1500°
(4)﹣9
II、弧度制
1、角的度量
(1)弧度制的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad,以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
(2)角的弧度数的计算
若是以角作为圆心角时所对弧的长,r是圆的半径,那么的弧度数的绝对值
||=
2、角度制与弧度制的换算
(1)角度化为弧度
=2rad,180°
=rad;
1°
=rad≈0.01745rad
(2)弧度化为角度
2rad=360°
,rad=180°
,1rad=≈57.30°
(3)常用的特殊角的弧度数
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
3、弧长公式和扇形面积公式
(1)弧长公式
①角度制下的弧长公式为l=(n为角的角度数)
②弧度制下弧长公式为l=·
r,其中为圆弧所对的圆心角的弧度数,r为圆的半径
(2)扇形面积公式
①角度制下的扇形面积公式S=
②弧度制下扇形面积公式为S=l·
r,其中l为扇形的弧长,r为扇形的半径,弧度制下扇形面积公式还可以表示为S=r,其中为扇形的圆心角,r为扇形的半径
例4、
(1)将315°
30′化成弧度;
(2)将13.5rad化成度;
(3)时间经过4小时,时针、分针各转多少度?
等于多少弧度?
例5、已知扇形OAB的圆心角为120°
,半径长为6,
(1)求的长;
(2)求弓形AB的面积。
三、巩固练习
1.在与角10030°
终边相同的角中,求满足下列条件的角
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°
~720°
的角。
2.如图,试用弧度制:
(1)分别写出终边在OA、OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合。
3.若是第二象限角,试判断2,,角各是第几象限角?
4.用30cm长的铁丝围成一个扇形,应该怎样设计才能使扇形面积最大?
最大面积是多少?
5.如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°
,点P从点A出发,依逆时针方向等速沿单位圆周旋转。
已知P在1秒钟内转过的角度为(0°
<
180°
),经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟后又回到出发点A,求。
6.若是第三象限角,则所属的象限是。
四、课堂检测
1.用弧度制表示下列各角:
30°
=,60°
=,90°
=,120°
=,
=,240°
=,270°
=,360°
=。
2.用角度制表示下列各角:
=,=,=,=,3=。
3.终边在y轴的左方的角的集合是。
4.如图1所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合为。
图1
5.圆的半径为6cm,则15°
的圆心角所对的弧长为,扇形面积为(用表示)
6.下列命题:
①第一象限角都是锐角;
②锐角都是第一象限角;
③第一象限角一定不是负角;
④第二象限角大于第一象限角;
⑤第二象限角是钝角;
⑥小于180°
的角是钝角、直角或锐角;
其中真命题的序号是。
7.已知为第三象限的角,则终边所在位置是。
8.扇形的周长是16,圆心角是2rad,则扇形的面积是。
9.把下列各角化成0到2的角加上2k(k∈Z)的形式,并指出它们是第几象限角。
(2)﹣;
(3)1200°
(4)﹣12345°
10.
(1)在已知圆内,1弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对弧长为多少?
(2)扇形OAB的面积是1cm,它的周长是4cm,求它的圆心角和弦AB的长。
11.已知集合A={|30°
+k·
90°
,k∈Z},
集合B={|﹣45°
45°
,k∈Z},求A∩B。
2、任意角的三角比
I、任意角的三角比
1、任意角的三角比的定义
设施一个任意角,的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>
0),那么:
比值叫做α的正弦,记作sin,即sin=(∈R);
比值叫做α的余弦,记作cos,即cos=(∈R);
比值叫做α的正切,记作tan,即tan=(≠kπ+,k∈Z);
比值叫做α的余切,记作cot,即cot=(≠kπ,k∈Z);
比值叫做α的正割,记作sec,即sec=(≠kπ+,k∈Z);
比值叫做α的余割,记作csc,即csc=(≠kπ,k∈Z);
2、单位圆中的三角函数线
设任意角的终边与单位圆相交于点P(x,y),那么,sin==y,cos==x,如上右图,单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,即sin=MP,cos=OM,tan=AT。
例1、已知角的终边上有一点P(3t,4t)(t≠0),求角的六种三角函数值。
II、任意三角比的第一组诱导公式及各三角比在每个象限的符号
1、第一组诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相等,即:
sin(+k·
)=sin
cos(+k·
)=cos
tan(+k·
)=tan
2、一些特殊角的三角函数值
3、各三角比在每个象限的符号
sin(csc)cos(sec)tan(cot)
例2、根据下列条件,确定是第几象限的角。
(1)sin>
0,tan<
0;
(2)cos·
tan>
(3)sin2>
0,cos<
0。
1.已知∈(0,),求证:
sin<
tan。
2.若是第三象限角,判断以下各式的正、负。
(1)sin+cos;
(2)tan﹣sin;
(3)cot·
sec;
(4)sin·
sec
3.利用三角函数的定义证明:
·
=tan
4.
(1)在[0,2]内,求使sin>
的角的取值范围;
(2)设∈R,求使sin>
的角的取值范围。
5.“=”是“cos2=”的条件。
1.角的终边在y轴上,则的六个三角比中不存在的是。
2.已知角的终边经过下列各点,分别求角的正弦、余弦、正切、余切值。
(1)P(2,﹣3);
(2)(﹣4t,3t),t≠0
3.不用计算器,确定下列三角比的符号:
(1)cos250°
(2)sin(﹣);
(3)tan(﹣672°
);
(4)tan
4.已知sin<
0,且tan>
0:
(1)求角的集合;
(2)求角终边所在的象限;
(3)试判断tan、sin、cos的符号。
五、课后作业
1.在与角终边相同的角中,绝对值最小的角是。
2.若是角终边上的一点,且,则实数的值为。
3.若角的终边上有一点,则的值为。
4.若一个扇形的圆心角为,弧长为,则这个扇形的面积为。
5.函数的值域是。
6.若是第二象
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