从二道高考题解读二面角的求法文档格式.doc

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一个平面多边形的面积为S，它在另一个平面上的射影多边形的面积为，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为，则

解：

如图1，设，

可求得

且在平面ABCD上的射影为

图2

或解：

如图2

把、分别扩充

成菱形AEFG、正方形ABCD。

同样，菱形AEFG在底面上的射影

为正方形ABCD，同上也可求出正确

答案。

注：

面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。

A

图3

P

B

l

二、三垂线定理法

如图3，设锐二面角，过面

内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB

⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.

图４

如图４，

延长CB、FE交与G点，

连接AG，则

因为：

所以：

过B点作于M，

连接EM。

由三垂线定理可知：

。

故为

面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

设，∥，中点

，在直角等腰三角形ABG中，由知

γ

β

α

ι

图５

三、垂面法

如图５，作平面垂直于二面角的棱，分别交二面角的两个面于射线PA、PB。

根据平面角的定义可知，就是二面角的平面角。

这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.

图６

如图６，延长CB、FE交与G点，

易证

且与面AEF与面ABC

的交线分别为AE、AC，

所以就是面AEF与面ABC所成的二面角

的平面角。

同样，在直角中，可求得

四、定义法

此方法的关键是在二面角的棱上找到一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。

此法中，点的选取很关键，便于后续计算。

例2.（2011年全国新课标理18）

如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

（I）证明：

；

（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

（Ⅰ）因为，由余弦定理得

从而,

故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.故PABD

（Ⅱ）如图，过A作于E，过E作∥交PC于F，连接AF

由（Ⅰ）知，

故∠AEF是二面角A-PB-C的平面角。

作于G点，连接AG

设ＰＤ＝ＡＤ＝１，通过计算可得：

所以

即二面角A-PB-C的余弦值为。

五、求部分法

当一个二面角被过棱的一个半平面分成两个二面角时，可分别求出两个二面角，再求和。

特别地，当其中一个二面角的大小已知时，问题将更加简便。

如图，二面角

被平面ＰＢＤ分成

二面角和

由（Ⅰ）知：

所以，

故二面角是直二面角，其大小为

下求二面角的大小

因为，过Ａ作于Ｑ点，连接ＤＱ，

由三垂线定理法可知，为二面角的平面角。

同上求得，所以二面角的余弦值为：

六、平面法向量法

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则

，，，．

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则

即

因此可取n=

设平面PBC的法向量为m，则

可取m=（0，-1，）

故二面角A-PB-C的余弦值为