两个计数原理与排列组合知识点及例题文档格式.doc
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5、进行计算.
解:
属于分步:
第一步配一个荤菜有3种选择
第二步配一个素菜有5种选择
第三步配一个汤有2种选择
共有N=3×
5×
2=30(种)
例2有一个书架共有2层,上层放有5本不同的数学书,下层放有4本不同的语文书。
(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?
(2)从书架上任取一本数学书和一本语文书,有多少种不同的取法?
(1)分析:
2、如何完成这件事?
3、它们属于分类还是分步?
4、运用哪个计数原理?
5、进行计算。
属于分类:
第一类从上层取一本书有5种选择
第二类从下层取一本书有4种选择
共有N=5+4=9(种)
(2)分析:
5、进行计算.
解:
第一步从上层取一本书有5种选择
第二步从下层取一本书有4种选择
共有N=5×
4=20(种)
例3、有1、2、3、4、5五个数字.
(1)可以组成多少个不同的三位数?
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数?
(3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数?
1、完成的这件事是什么?
2、如何完成这件事?
(配百位数、配十位数、配个位数)
3、它们属于分类还是分步?
4、运用哪个计数原理?
5、进行计算.
略解:
N=5×
5=125(个)
【例题解析】
1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣,问可以有多少种不同的搭配方法?
2、有一个班级共有46名学生,其中男生有21名.
(1)现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会,有多少种不同的选派方法?
(2)若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会,有多少种不同的选派方法?
3、有0、1、2、3、4、5六个数字.
排列与组合
1.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
2.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
3.排列数公式:
()
4.阶乘:
表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定.
5.排列数的另一个计算公式:
=
6.组合概念:
从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
7.组合数的概念:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
8.组合数公式:
或
9.组合数的性质1:
.规定:
;
10.组合数的性质2:
=+Cn0+Cn1+…+Cnn=2n
题型讲解
例1分别求出符合下列要求的不同排法的种数
(1)6名学生排3排,前排1人,中排2人,后排3人;
(2)6名学生排成一排,甲不在排头也不在排尾;
(3)从6名运动员中选出4人参加4×
100米接力赛,甲不跑第一棒,乙不跑第四棒;
(4)6人排成一排,甲、乙必须相邻;
(5)6人排成一排,甲、乙不相邻;
(6)6人排成一排,限定甲要排在乙的左边,乙要排在丙的左边(甲、乙、丙可以不相邻)
(1)分排坐法与直排坐法一一对应,故排法种数为
(2)甲不能排头尾,让受特殊限制的甲先选位置,有种选法,然后其他5人选,有种选法,故排法种数为
(3)有两棒受限制,以第一棒的人选来分类:
①乙跑第一棒,其余棒次则不受限制,排法数为;
②乙不跑第一棒,则跑第一棒的人有种选法,第四棒除了乙和第一棒选定的人外,也有种选法,其余两棒次不受限制,故有种排法,
由分类计数原理,共有种排法
(4)将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法
(5)甲乙不相邻,第一步除甲乙外的其余4人先排好;
第二步,甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位,共有(或用6人的排列数减去问题
(2)后排列数为)
(6)三人的顺序定,实质是从6个位置中选出三个位置,然后排按规定的顺序放置这三人,其余3人在3个位置上全排列,故有排法种
点评:
排队问题是一类典型的排列问题,常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻
例2假设在100件产品中有3件是次品,从中任意抽取5件,求下列抽取方法各多少种?
(1)没有次品;
(2)恰有两件是次品;
(3)至少有两件是次品
解:
(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法,共有种
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽2件的抽法,共有种
(3)至少有2件次品的抽法,按次品件数来分有二类:
第一类,从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽取2件,有种
第二类从97件正品中抽取2件,并将3件次品全部抽取,有种
按分类计数原理有种
此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题,附加的条件是从不同种类的元素中抽取,应当注意:
如果第(3)题采用先从3件次品抽取2件(以保证至少有2件是次品),再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法,那么所得结果是种,其结论是错误的,错在“重复”:
假设3件次品是A、B、C,第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品,与第一步先抽A、C(或B、C),第二步再抽B(或A)和其余2件正品是同一种抽法,但在算式中算作3种不同抽法
例3求证:
① ;
②
证明:
①利用排列数公式
左右
另一种证法:
(利用排列的定义理解)从n个元素中取m个元素排列可以分成两类:
①第一类不含某特殊元素的排列有
第二类含元素的排列则先从个元素中取出个元素排列有种,然后将插入,共有m个空档,故有种,因此
②利用组合数公式
左
右
另法:
利用公式推得左右
证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质
例4已知是集合到集合的映射
(1)不同的映射有多少个?
(2)若要求则不同的映射有多少个?
分析:
(1)确定一个映射,需要确定的像
(2)的象元之和为4,则加数可能出现多种情况,即4有多种分析方案,各方案独立且并列需要分类计算
(1)A中每个元都可选0,1,2三者之一为像,由分步计数原理,共有个不同映射
(2)根据对应的像为2的个数来分类,可分为三类:
第一类:
没有元素的像为2,其和又为4,必然其像均为1,这样的映射只有一个;
第二类:
一个元素的像是2,其余三个元素的像必为0,1,1,这样的映射有个;
第三类:
二个元素的像是2,另两个元素的像必为0,这样的映射有个
由分类计数原理共有1+12+6=19(个)
问题
(1)可套用投信模型:
n封不同的信投入m个不同的信箱,有 种方法;
问题
(2)的关键结合映射概念恰当确定分类标准,做到不重、不漏
例5四面体的顶点和各棱的中点共10个点
(1)设一个顶点为A,从其他9点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有多少种?
(2)在这10点中取4个不共面的点,不同的取法有多少种?
(1)如图,含顶点A的四面体的三个面上,除点A外都有5个点,从中取出3点必与点A共面,共有种取法
含顶点A的棱有三条,每条棱上有3个点,它们与所对棱的中点共面,共有3种取法
根据分类计数原理和点A共面三点取法共有种
(2)取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂,故采用间接法:
先不加限制任取4点(种取法)减去4点共面的取法
取出的4点共面有三类:
从四面体的同一个面上的6点取出4点共面,有种取法
每条棱上的3个点与所对棱的中点共面,有6种取法
从6条棱的中点取4个点共面,有3种取法
根据分类计数原理4点共面取法共有
故取4个点不共面的不同取法有(种)
由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题,附加的条件是点共线与不共线,点共面与不共面,线共面与不共面等
小结:
⑴m个不同的元素必须相邻,有种“捆绑”方法
⑵m个不同元素互不相邻,分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置有种不同的“插入”方法
⑶m个相同的元素互不相邻,分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置,有种不同的“插入”方法
⑷若干个不同的元素“等分”为m个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以
例1完成下列选择题与填空题
(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。
A.81 B.64 C.24 D.4
(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是()
(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,
①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;
②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有。
解析
(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键。
将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:
N=3×
3×
3=34=81,故答案选A。
本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;
②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·
A22+C42·
C22)种投法;
③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·
A33种投法、,故共有C31+C32(C41·
A22+C42C22)+C42·
A33=81(种)。
故选A。
(2)因学生可同时夺得n项冠军,
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- 关 键 词:
- 两个 计数 原理 排列组合 知识点 例题