三角函数最值问题的几种常见类型文档格式.doc
- 文档编号:15024782
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOC
- 页数:8
- 大小:413.50KB
三角函数最值问题的几种常见类型文档格式.doc
《三角函数最值问题的几种常见类型文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角函数最值问题的几种常见类型文档格式.doc(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
y=sin(x+φ),其中
例1(2004年全国,理4)函数在区间[0,]上的最小值为___。
[解析]:
=2()
=2()=2
因为,所以,当时,易知y的最小值为
[答案]所以应填“1”。
例2已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
(3)若当x∈[,]时,f(x)的反函数为f-1(x),求f--1
(1)的值.
(1)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
(3)令2sin(2x+)=1,又x∈[],
∴2x+∈[,],∴2x+=,则
x=,故f--1
(1)=.
3.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。
此类函数可先降次,再整理转化形式解决,
例.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合。
4.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成形如的二次函数来求解。
例是否存在实数a,使得函数y=sin2x+a·
cosx+a-在闭区间[0,]上的最大值是1?
若存在,求出对应的a值;
若不存在,试说明理由.
综合上述知,存在符合题设
5.y=型的函数
特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式。
几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有多种,如利用万能公式换元后用判别式处理。
例.求函数y=的最大值和最小值。
解法1:
原解析式即:
sinx-ycosx=2-2y,即sin(x+φ)=,
∵|sin(x+φ)|≤1,∴≤1,解出y的范围即可。
解法2:
表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜率,而点(cosx,sinx)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。
解法3:
应用万能公式设t=tg() 则y=,即(2-3y)t2-2t+2-y=0
根据Δ≥0解出y的最值即可。
可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率,设直线的方程为
即,则圆心(0,0)到它的距离
解得或
【附】:
求的值域(反解法)
又
函数的值域
利用正(余)弦函数的有界性,转化为以函数y为主元的不等式,是解决这类问题的最佳方法。
例.求函数的最大值和最小值。
由已知得,
即,
所以
因,
即解得,
故
6.y=sinxcos2x型的函数。
它的特点是关于sinx,cosx的三次式(cos2x是cosx的二次式)。
因为高中数学不涉及三次函数的最值问题,故几乎所有的三次式的最值问题(不只是在三角)都用均值不等式来解(没有其它的方法)。
但需要注意是否符合应用的条件(既然题目让你求,多半是符合使用条件的,但做题不能少这一步),及等号是否能取得。
例、如右图,在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角和这一点到光源的距离r的平方成反比,即I=k·
,其中k是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高度h,才能使桌子边缘处最亮?
R=rcosθ,由此得:
,
注:
本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题。
7.含有“的三角函数的最值问题
此类函数的常用解决方法是将转化为的函数关系,,并应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化最终划归为二次函数的最值问题。
解此类型最值问题通常令
例.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解:
令sinx+cosx=t,(-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-.
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+。
求函数的最值。
8:
利用函数单调性求最值
求的最值及对应的的集合
:
将分子展开转化为的形式来解决
令则且设
窗体顶端
9、形如的形式
例4.求函数的最大值和最小值。
由,得,,
,即
此题是利用了分离分母的方法求解的。
例1:
求函数的值域。
由变形为,知,则有,,则此函数的值域是
利用函数的有界性求解
10、形如的形式
例5.求的最小值。
设,则。
从图2中可以看到在区间上是减函数(也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论)。
当时,
[点评]若由,可得最小值是错误的。
这是因为当等号成立时,,
即是不可能的。
若把此题改为就可以用不等式法求解了,同学们不妨琢磨一下。
条件最值问题。
已知,求的取值范围。
∵,∴
∵∴
∵\
∵∴sinα=0时,;
时,
∴。
8
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三角函数 问题 常见 类型