三角恒等变换之辅助角公式Word格式.doc
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三角恒等变换之辅助角公式Word格式.doc
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sin+cos=2sin(+)=2cos(-).
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见,sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
2.辅助角公式的推导
例2化为一个角的一个三角函数的形式.
解:
asin+bcos=(sin+cos),
①令=cos,=sin,
则asin+bcos=(sincos+cossin)
=sin(+),(其中tan=)
②令=sin,=cos,则asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)
其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:
一是为什么要令=cos,=sin?
让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式=来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?
这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
r
图1
O
的终边
P(a,b)
x
首先要说明,若a=0或b=0时,已经是一个角的一个三角函数的形式,无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=,由三角函数的定义知
sin==,
cos=.
所以asin+bcos==cossin+sincos
=.(其中tan=)
图2
y
P(b,a)
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三角函数的定义知
sin==,
cos==.
asin+bcos=
=.(其中tan=)
例3化为一个角的一个三角函数的形式.
解:
在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP=r==2.sin=,cos=.
∴=2cossin+2sincos=2sin().tan=.
∴=2sin().
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者
asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=)
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成(sin+cos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.
例4化为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:
点(1,-)在第四象限.OP=2.设角过P点.则,.满足条件的最小正角为,
解法二:
点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则,.满足条件的最小正角为,
三.关于辅助角的范围问题
由中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式
(一)知
.其中,,的具体位置由与决定,的大小由决定.
类似地,,的终边过点P(b,a),设满足条件的最小正角为,则由诱导公式有
,其中,,的位置由和确定,的大小由确定.
注意:
①一般地,;
②以后没有特别说明时,角(或)是所求的辅助角.
四.关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是,并不是每次都要化为
的形式或的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.
例5 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.
(1);
(2).
解:
(1)
(2)
在本例第(1)小题中,,,我们并没有取点P(,-1),而取的是点P(,1).也就是说,当、中至少有一个是负值时.我们可以取P(,),或者P(,).这样确定的角(或)是锐角,就更加方便.
例6已知向量,,
求函数=的最大值及相应的的值.
解:
=
=
这时.
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.
N
B
M
A
Q
P
图3书资料
例7如图3,记扇OAB的中心角为,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线的最小值.
连结OM,设∠AOM=.则MQ=,OQ=,OP=PN=.
PQ=OQ-OP=.
=
=
=,其中,,.
.
所以当时,矩形的对角线的最小值为.
7
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- 三角 恒等 变换 辅助 公式
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