三角函数知识点归纳Word文档下载推荐.doc
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函数
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
角a的弧度
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
sina
1/2
√2/2
√3/2
1
-1
cosa
-1/2
-√2/2
-√3/2
tana
√3/3
√3
-√3
-√3/3
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号)
(2)商数关系:
=tanα.(3)倒数关系:
2.诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,其中k∈Z.
公式二:
sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tanα.
公式三:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cos_α,.
公式四:
sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,.
公式五:
sin=cos_α,cos=sinα.
公式六:
sin=cos_α,cos=-sin_α.
诱导公式可概括为k·
±
α的各三角函数值的化简公式.口诀:
奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);
若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:
把α看成锐角时,根据k·
α在哪个象限判断原三角函数值的符号,最后作为结果符号.
B.方法与要点
一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为:
奇变偶不变,符号看象限.
2、四种方法
在求值与化简时,常用方法有:
(1)弦切互化法:
主要利用公式tanα=化成正、余弦.
(2)和积转换法:
利用(sinθ±
cosθ)2=1±
2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(、、三个式子知一可求二)
(3)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=sin=tan
(4)齐次式化切法:
已知,则
三、三角函数的图像与性质
学习目标:
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期:
定义法,公式法,图像法(如与的周期是)。
3会判断三角函数奇偶性
4会求三角函数单调区间
5知道三角函数图像的对称中心,对称轴
6知道,,的简单性质
(一)知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象:
正弦函数和余弦函数图象的作图方法:
五点法:
先取横坐标分别为0,的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
2、正弦函数、余弦函数的性质:
(1)定义域:
都是R。
(2)值域:
都是,
对,当时,取最大值1;
当时,取最小值-1;
对,当时,取最大值1,当时,取最小值-1。
(3)周期性:
,的最小正周期都是2;
(4)奇偶性与对称性:
①正弦函数是奇函数,对称中心是,对称轴是直线;
②余弦函数是偶函数,对称中心是,对称轴是直线;
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点)。
(5)单调性:
上单调递增,在单调递减;
在上单调递增,在上单调递减。
特别提醒,别忘了!
3、正切函数的图象和性质:
。
(2)值域是R,无最大值也无最小值;
(3)奇偶性与对称性:
是奇函数,对称中心是,特别提醒:
正(余)切型函数的对称中心有两类:
一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(4)单调性:
正切函数在开区间内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时,;
当
时,.
当时,
;
当
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在
上是增函数;
上是减函数.
在上是增函数;
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
无对称轴
5、研究函数性质的方法:
类比于研究的性质,只需将中的看成中的。
函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的性质。
R
(2)值域:
[-A,A]
(3)周期性:
①和的最小正周期都是。
②的最小正周期都是。
函数y=Asin(wx+j)(A>0,>0)的
单调增区间可由2k-≤wx+j≤2k+,k∈z解得;
单调减区间可由2k+≤wx+j≤2k+,k∈z解得。
在求的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正。
如函数的递减区间是______
(答:
解析:
y=,所以求y的递减区间即是求的递增区间,由得
,所以y的递减区间是
四、函数的图像和三角函数模型的简单应用
一、知识要点
1、几个物理量:
①振幅:
②周期:
③频率:
④相位:
⑤初相:
.
2、函数表达式的确定:
A由最值确定;
由周期确定;
由图象上的特殊点确定.
函数,当时,取得最小值为;
当时,取得最大值为,则,,.
3、函数图象的画法:
①“五点法”――设,令=0,求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;
②图象变换法:
这是作函数简图常用方法。
4、函数y=sinx的图象经变换可得到的图象
y=sinx
y=sinxXXXxxx
横坐标
伸(缩)倍
左(右)平移
纵坐标
伸(缩)A倍
左(右)
平移
纵坐标
横坐标
横坐标
左(右)平移
5、函数的图象与图象间的关系:
①函数的图象向左(>
0)或向右(<
0)平移个单位得的图象;
②函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数的图象;
③函数图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数的图象;
④函数图象向上()或向下()平移个单位,得到的图象。
要特别注意,若由得到的图象,则向左或向右平移应平移个单位,
如要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位
(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
6、函数y=Acos(wx+j)和y=Atan(wx+j)的性质和图象的变换与y=Asin(wx+j)类似。
三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸();
⑹().
如;
(答案:
)
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴.
如cos2+cos2+coscos的值等于;
(答案:
⑵
升幂公式
降幂公式,.
⑶.
3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数:
,其中.
4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,灵活运用三角公式,掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下:
(1)角的变换:
在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,寻找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如:
①是的二倍;
是的二倍;
②;
问:
;
;
③;
④;
⑤;
等等.
如[1].(答案:
[2]若cos(α+β)=,cos(α-β)=-,且<α-β<π,<α+β<2π,则cos2α=_____,cos2β=_____.
(答案:
-,-1)
[3]已知则;
(答案:
(2)函数名称变换:
三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名(二弦归一)。
如;
(3)常数代换:
在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:
(4)幂的变换:
降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有:
;
。
有时需要升幂,常用升幂公式有:
;
.如对无理式常用升幂化为有理式.
(5)公式变形:
三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
;
;
;
;
(其中;
)
(6)三角函数式的化简运算基本规则:
复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特殊值与特殊角的三角函数互化。
8
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