《柯西不等式》单元测试题(1)文档格式.doc
- 文档编号:15023962
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOC
- 页数:6
- 大小:98KB
《柯西不等式》单元测试题(1)文档格式.doc
《《柯西不等式》单元测试题(1)文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《柯西不等式》单元测试题(1)文档格式.doc(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
A.B.1C.3D.9
5.已知x,y∈R+,且xy=1,则的最小值为( )
A.4B.2C.1D.
6.设a、b∈R+,且a≠b,P=+,Q=a+b,则( )
A.P>
QB.P≥QC.P<
QD.P≤Q
二、填空题:
7.已知a,b>
0,且a+b=1,则+的最小值为________;
8.函数y=+2的最大值是________;
9.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·
,则P与Q的大小________;
10.函数y=2cosx+3的最大值为________;
11.函数y=2+的最大值为________.
三、解答题:
12.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值点.
13.设a,b∈R+,若a+b=2,求+的最小值.
14.已知a+b=1,求证:
a2+b2=1.
15.设a+b=,求证:
a8+b8≥.
参考答案:
答案:
B
A
解析:
∵(a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,
∴|a-b|≤=2,∴a-b∈[-2,2].
A
∵2x+y=2x·
1+y·
1
≤·
=·
=.
∴2x+y的最大值为.
≥2=4,故选A.
∵(a+b)
=[()2+()2]
≥2=(a+b)2
∵a>
0,b>
0,∴a+b>
0.∴≥=(a+b).
又∵a≠b,而等号成立的条件是·
,
即a=b,∴>
a+b.即P>
Q.
∵+=(a+b)
=[()2+()2]≥2=2
=+.
+
根据柯西不等式,知
y=1×
+2×
≤×
由柯西不等式,得
P=+≤×
=Q.
P≤Q
y=2cosx+3
=2cosx+3≤=.
当且仅当=,即tanx=±
时,函数有最大值.
y=2+=+1·
≤·
=3.
当且仅当·
1=·
取等号.
即2-2x=4x+2,∴x=0时取等号.
3
解:
由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,
∴4x2+9y2≥.
当且仅当2x·
1=3y·
1,即2x=3y时取等号.
由 得
∴4x2+9y2的最小值为,最小值点为.
≥2=(1+1)2=4.
∴2≥4,即≥2.
,即a=b时取等号,
∴当a=b=1时,+的最小值为2.
证明:
由柯西不等式,得(a+b)2≤[a2+(1-a2)][b2+(1-b2)]=1.
当且仅当=时,上式取等号,
∴ab=·
,a2b2=(1-a2)(1-b2).
于是a2+b2=1.
a8+b8=(12+12)[(a4)2+(b4)2]
≥(1×
a4+1×
b4)2
=(a4+b4)2=2
=×
{(12+12)[(a2)2+(b2)2]}2
a2+1×
b2)2=(a2+b2)2
=2
≥×
(a+b)2=.
∴原不等式成立.
6
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 柯西不等式 不等式 单元测试