第三章季节ARIMA模型Word格式.docx
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s=1-Ls
也称为s阶差分,则对yt进行一次季节差分表示为
syt=(1-Ls)yt=yt-yt-s
若非平稳季节性时间序列存在D个季节单位根,则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
即
sDyt=(1-Ls)Dyt
2、季节自回归算子与移动平均算子:
描述季节相关性
类比一般的时间序列模型,序列xt=sDyt中含有季节自相关和移动平均成份意味着,
即sDyt可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。
P(Ls)sDyt=Q(Ls)ut(2.60)
其中P(Ls)=(1-1Ls-2L2s-PLPs)称为季节自回归算子;
Q(Ls)=(1+1Ls+2L2s+QLPs)称为季节移动平均算子(注意季节自回归项和季节移动平均项的表示方法,例如P、Q等于2时,滞后算子应为(Ls)1=Ls,(Ls)2=L2s)。
对于上述模型,相当于假定ut是平稳的、非自相关的。
以上模型把序列中的季节单位根、季节相关成份描述完了,那么如果ut是我们前面描述的ARIMA(p,q)过程呢?
或者说中还含有单位根以及一般的自回归、移动平均成份呢?
3、季节时间序列模型的一般形式:
乘积季节模型
当ut非平稳且存在ARMA成分时,则可以把ut描述为
p(L)dut=q(L)vt(2.61)
其中vt为白噪声过程,p,q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数,d表示ut的一阶(非季节)差分次数。
由上式得
ut=p-1(L)-dq(L)vt(2.62)
把(2.62)式代入(2.60)式,于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
p(L)P(Ls)(dsDyt)=q(L)Q(Ls)vt(2.63)
其中下标P,Q,p,q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数,d,D分别表示非季节和季节性差分次数。
上式称作(p,d,q)´
(P,D,Q)s阶季节时间序列模型或乘积季节模型。
当协方差平稳序列dsDyt含有均值μ等确定性成分时(通常如此),上述模型表示为,
p(L)P(Ls)(dsDyt-μ)=q(L)Q(Ls)vt(2.64)
保证(dsDyt)具有平稳性的条件是p(L)P(Ls)=0的所有根在单位圆外;
保证(dsDyt)具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls)=0的所有根在单位圆外。
当P=D=Q=0时,SARIMA模型退化为ARIMA模型;
从这个意义上说,ARIMA模型是SARIMA模型的特例。
当P=D=Q=p=q=d=0时,SARIMA模型退化为白噪声模型。
(1,1,1)´
(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
(1-1L)(1-1L12)12yt=(1+1L)(1+1L12)vt(2.65)
12yt具有平稳性的条件是|1|<
1,|1|<
1,12yt具有可逆性的条件是|1|<
1。
3.2季节时间序列模型的识别
建立SARIMA模型,
(1)首先要确定d,D。
通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。
令
xt=dsDyt
存在一般单位根时相应相关图的呈缓慢线性衰减。
存在季节单位根的特征是相应的相关图中s整数倍时点上的值呈缓慢衰减。
(2)然后用xt建立p(L)P(Ls)xt=q(L)Q(Ls)vt模型。
或p(L)P(Ls)(xt–μ)=q(L)Q(Ls)vt模型。
以相关图和偏相关图为例,如果相关图和偏相关图在变化周期s的整数倍时点上出现绝对值相当大的峰值或衰减变化,就可以认为该时间序列可以用SARIMA模型描述。
对乘积季节模型的季节阶数,即周期长度s的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。
(3)用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1,P和Q不会大于3。
3.3季节时间序列模型的估计、检验与预测
设有季节时间序列Yt,为了消除其异方差,并线性化,首先对其取对数,令yt=log(Yt),则变量12yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示(这样表示的好处是EViews可以直接预测到Y)。
其他取对数及差分的Eviews命令如下表,
命令
数学表达式
含义
d(Y)
(1-L)Y
对Y进行一次差分
d(Y,n)
(1-L)nY
对Y进行n次差分
d(Y,n,s)
(1-L)n(1-Ls)Y
对Y进行n次差分和一次季节差分
dlog(Y)
(1-L)log(Y)
对Y取自然对数后进行一次差分
dlog(Y,n)
(1-L)nlog(Y)
对Y取自然对数后进行n次差分
dlog(Y,n,s)
(1-L)n(1-Ls)log(Y)
对Y取自然对数后进行n次差分和一次季节差分
则上述(2.65)式的EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)AR
(1)SAR(12)MA
(1)SMA(12)
(0,1,1)´
(0,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
12yt=(1+1L)(1+1L12)vt(2.66)
(2.66)式的EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)MA
(1)SMA(12)
由(2.66)式得
12yt=(1+1L)(1+1L12)vt=vt+1Lvt+1L12vt+11L13vt
=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13(2.67)
(2.67)式也可以用如下的EViews命令估计
DLOG(Y,1,12)MA
(1)MA(12)MA(13)
上述估计命令对应的模型表达式是
12yt=vt+1vt–1+12vt–12+13vt–13
这是一个非季节模型表达式。
以上两个EViews估计命令都是估计MA(13)模型。
注意:
唯一不同点是上式对vt–13的系数没有约束,而对季节模型来说,相当于增加了一个约束条件,13=11。
运用(2.67)式进行预测,12yt=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13
而12yt=(yt–yt-12)=yt–yt-12=yt–yt-1+yt-12–yt–13
在这个例子中,用于预测模型的最终形式是
yt=yt-1+yt-12–yt–13+vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13(2.68)
从上式可以看出SARIMA模型可以展开为带有约束的ARIMA模型。
乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。
利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。
3.4季节时间序列建模案例
案例1:
(文件名:
5b2c3)北京市1978:
1~1989:
11社会商品零售额月度数据(yt,单位:
亿元人民币)曲线见图2.32,数据见表2.3。
yt与时间呈指数关系且存在递增型异方差。
对数的社会商品零售额月度数据(Lnyt)曲线见图2.33。
Lnyt与时间近似呈线性关系(异方差问题也得到抑制)。
图2.32yt图2.33Lnyt
通过Lnyt的相关图和偏相关图(见图2.34)可以看到Lnyt是一个非平稳序列(相关图衰减很慢)且Lnyt与其12倍数的滞后期存在自回归关系。
图2.34Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一阶差分,得Lnyt(图2.35)。
图2.36是对Lnyt进行2次一阶差分的结果,序列2Lnyt是过度差分序列。
从Lnyt的相关图和偏相关图(图2.37)可以看到,通过差分Lnyt的平稳性得到很大改进,但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。
图2.35Lnyt图2.362Lnyt
图2.37Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一次季节性差分(或12阶差分),得12Lnyt(图2.38)。
从12Lnyt的相关图和偏相关图(图2.39)可以看到12Lnyt仍然是非平稳的。
图2.3812Lnyt,(EViews:
DLOG(Y,0,12))
图2.3912Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一阶差分和一阶季节性差分,得12Lnyt(见图2.40)。
从xt的相关图和偏相关图(见图2.41)可以看到12Lnyt近似为一个平稳过程。
图2.4012Lnyt=xt,(EViews:
DLOG(Y,1,12))
图2.4112Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
从图中观察,发现12Lnyt序列不含有均值。
用1978:
11期间数据,估计yt的(1,1,1)´
(1,1,0)12阶季节时间序列模型(加入SMA(12)项发现其参数不显著),EViews估计命令是DLOG(Y,1,12)AR
(1)SAR(12)MA
(1)
EViews输出结果见图2.42。
图2.42EViews估计结果
根据EViews输出结果写表达式。
(1+0.5924L)(1+0.4093L12)12Lnyt=(1+0.4734L)vt(2.69)
(-4.5)(-5.4)(2.9)
R2=0.33,s.e.=0.146,Q36=15.5,20.05(36-2-1)=44
(1)仔细对照(2.69)式和图2.42输出结果,不要把自回归系数估计值的符号写错。
通过自回归特征根倒数-0.59可知,把表达式中的算子写作(1+0.5924L)是正确的。
通过移动平均特征根倒数-0.47可知,把表达式中的算子写作(1+0.4734L)
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- 第三 季节 ARIMA 模型