《立体几何》专题(文科)Word下载.doc
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如果α∥β,aα,那么α∥β
如果aα,bα,cβ,dβ,a∥c,b∥d,a∩b=P,那么α∥β
如果aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β
如果α∥β,β∥γ,那么α∥γ
如果a⊥α,a⊥β,那么α∥β
线线垂直
线面垂直
面面垂直
平行关系
二垂线定理及逆定理
如果a⊥α,bα,那么a⊥b
如果三个平面两两垂直,那么它们交线两两垂直
如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c
如果a⊥b,a⊥c,bα,cα,b∩c=P,那么a⊥α
如果α⊥β,α∩β=b,aα,a⊥b,那么a⊥β
如果a⊥α,b∥a,那么b⊥α
定义(二面角等于900)
如果a⊥α,aβ,那么β⊥α
二、练习题:
1.l1∥l2,a,b与l1,l2都垂直,则a,b的关系是
A.平行B.相交C.异面D.平行、相交、异面都有可能
2.三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,P、Q分别为AA1、CC1上的点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积是
A
B
D
C
A1
D1
C1
B1
P
Q
图1
A.B.C.D.
3.设、、为平面,、、为直线,则的一个充分条件是
A. B.
C.D.
4.如图1,在棱长为的正方体中,P、Q是对角
线上的点,若,则三棱锥的体积为
A.B.C.D.不确定
5.圆台的轴截面面积是Q,母线与下底面成60°
角,则圆台的内切球的表面积是
ABQCQDQ
6.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点,O为AC与BD的交点(如图),求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H;
(3)A1O⊥平面BDF;
(4)平面BDF⊥平面AA1C.
7.如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’中,底面是边长为a的正三角形,
侧棱长为b,侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角,求
此三棱柱的侧面积和体积.
8.在三棱锥P—ABC中,PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥的体积VP-ABC.
9.如图6为某一几何体的展开图,其中是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.
S
R
图6
沿图中虚线将它们折叠起来,使P、Q、R、S四点重合,请画出其直观图,试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体?
N
图10
M
10.如图10,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=,
AA1=2,M、N分别是BB1、DD1的中点.
(1)求证:
平面A1MC1⊥平面B1NC1;
(2)若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V,
三棱锥M-A1B1C1的体积为V1,求V1:
V的值.
图11
E
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,,E是A1C的中点,
且交AC于D,(如图11).
(I)证明:
平面;
(II)证明:
平面.
参考答案
1.D2.B3.D4.A5.D
6.解析:
(1)欲证EG∥平面BB1D1D,须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线,构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’,显然BO’即是.
(2)按线线平行线面平行面面平行的思路,
在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线,
转化为证明:
B1D1∥平面BDF,O’H∥平面BDF.
(3)为证A1O⊥平面BDF,由三垂线定理,易得BD⊥A1O,
再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线.
猜想A1O⊥OF.借助于正方体棱长及有关线段的关系
计算得:
A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF.
(4)∵CC1⊥平面AC,∴CC1⊥BD
又BD⊥AC,∴BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF,∴平面BDF⊥平面AA1C
7.解析:
在侧面AB’内作BD⊥AA’于D,连结CD.
∵AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=450
∴△DAB≌△DAC
∴∠CDA=∠BDA=900,BD=CD
∴BD⊥AA’,CD⊥AA’
∴△DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中,BD=AB·
sin450=
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a,△DBC的面积=
∴S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab
∴V=·
AA’=
8.解析:
取PC和AB的中点M和N
∴
在△AMB中,AM2=BM2=172-82=25×
9
∴AM=BM=15cm,MN2=152-92=24×
6
∴S△AMB=×
AB×
MN=×
18×
12=108(cm2)
∴VP-ABC=×
16×
108=576(cm3)
9.解:
它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥(如图).
第九题
需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.
H
G
10.解:
(1)取CC1的中点P,联结MP、NP、D1P(图18),
则A1MPD1为平行四边形∴D1P∥A1M,∵A1B1C1D1是边长
为的正方形,又C1P=,
∴C1PND1也是正方形,∴C1N⊥D1P.∴C1N⊥A1M.
又C1B1⊥A1M,∴A1M⊥平面B1NC1,又A1M平面A1MC1,
∴平面A1MC1⊥平面B1NC1;
(2)V=,VM-A1B1C1=VC-MA1B1=,∴V1:
V=
11.证明:
(I)证:
三棱柱中,
又平面,且平面,
平面
(II)证:
三棱柱中,
中,,是等腰三角形.
E是等腰底边的中点,
又依条件知
且
由①,②,③得平面EDB.
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