高中数学 第1章 统计 8 最小二乘估计教学案 北师大版必修3Word文档格式.docx

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26

数量（百个）

20

24

34

38

50

64

若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求线性回归方程．

[尝试解答]　＝＝，＝＝，

x＋x＋…＋x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1286，

x1y1＋x2y2＋…＋x6y6＝－20＋96＋340＋13×

38＋18×

50＋26×

64＝3474.

b＝＝≈1.68，

a＝－b≈18.73，

即所求的线性回归方程为y＝1.68x＋18.73.

求线性回归方程的步骤

（1）画出散点图，判断其具有相关关系；

（2）计算，，x＝x＋x＋…＋x，

xiyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn.

（3）代入公式b＝，a＝－b；

（4）写出线性回归方程y＝bx＋a.

练一练

1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x

6

8

12

y

2

3

5

已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程．

解：

＝＝9，＝＝4，

a＝－b＝4－0.7×

9＝－2.3.

则所求的线性回归方程为y＝0.7x－2.3.

讲一讲

2.某种产品的广告费支出x（单位：

百万元）与销售额y（单位：

百万元）之间有如下对应数据：

30

40

60

70

（1）画出散点图；

（2）求线性回归方程；

（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额．

[尝试解答]　

（1）

（2）从散点图可以发现，y与x具有线性相关关系，利用计算器求得：

＝5，＝50，x＝145，xiyi＝1380，

设回归方程为y＝bx＋a，则

b＝＝＝6.5，

a＝－b＝50－6.5×

5＝17.5，故所求线性回归方程为y＝6.5x＋17.5.

（3）当x＝7时，y＝6.5×

7＋17.5＝63.

所以，当广告费支出为7百万元时，销售额约为6300万元．

用线性回归方程估计总体的一般步骤：

（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；

（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b并写出线性回归方程；

（3）根据线性回归方程对总体进行估计．

2．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（单位：

万元）有如下的统计资料：

使用年限x

维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：

（1）回归方程y＝bx＋a的系数a，b；

（2）使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．

（1）列表如下：

I

1

xi

yi

xiyi

4.4

11.4

22.0

32.5

42.0

9

16

25

36

＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3

b＝＝＝1.23，

a＝－b＝5－1.23×

4＝0.08.

（2）回归方程是y＝1.23x＋0.08，

当x＝10时，y＝1.23×

10＋0.08＝12.38（万元），

即估计使用10年时维修费用是12.38万元.

【解题高手】【易错题】

有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值（即人均GDP）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：

人均GDP（万元）

患白血病的儿童数

351

312

207

175

132

180

（1）画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；

（2）通过计算可得两个变量的线性回归方程为y＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？

[错解]　

（1）根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．

（2）将x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.25×

12＋102.25＝381.25>

380，所以上述断言是正确的．

[错因]　在第

（1）问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第

（2）问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.

[正解]　

（1）根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．

380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．

1．已知x与y之间的一组数据：

7

则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点（　　）

A．（2,2）　　B．（1.5,0）C．（1,2）D．（1.5,4）

解析：

选D＝＝1.5，＝＝4.

2．工人工资y（元）随劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为y＝80x＋50，则下列判断正确的是（　　）

A．劳动生产率为1000元时，工资为130元

B．劳动生产率提高1000元时，工资约提高80元

C．劳动生产率提高1000元时，工资约提高130元

D．当月工资210元时，劳动生产率为2000元

选B回归直线的斜率为80，所以x每增加1个单位，y约增加80，即劳动生产率提高1000元时，工资提高约80元．

3．（福建高考改编）已知x与y之间的几组数据如下表：

6

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是（　　）

A．b>

b′，a>

a′B．b>

b′，a<

a′

C．b<

a′D．b<

选C由两组数据（1,0）和（2,2）可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b＝＝＝，a＝－b＝－×

＝－，所以b<

a′.

4．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：

元）的对应数据如下：

14

则＝________，＝________，＝________，

＝________，回归方程为________．

根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得＝6.5，＝8，＝327，＝396，

回归方程为y＝1.14x＋0.59.

答案：

6.5　8　327　396　y＝1.14x＋0.59

5．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（℃）

用电量（度）

由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．

＝＝10，＝＝40，则a＝－b＝40＋2×

10＝60，则y＝－2x＋60，则当x＝－4时，y＝－2×

（－4）＋60＝68.

68

6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

2.5

4.5

（1）请画出上表中数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据

（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．（参考数值：

3×

2.5＋4×

3＋5×

4＋6×

4.5＝66.5）

（1）散点图如图所示．

（2）由对照数据，计算得：

x＝86，＝＝4.5，＝＝3.5.

又已知xiyi＝66.5，

∴b＝＝＝0.7，

a＝－b＝3.5－0.7×

4.5＝0.35.

∴所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.

（3）90－（0.7×

100＋0.35）＝19.65（吨标准煤），

故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．

一、选择题

1．设有一个回归方程y＝2－1.5x，当x增加1个单位时（　　）

A．y平均增加1.5个单位B．y平均减少1.5个单位

C．y平均增加2个单位D．y平均减少2个单位

选By′＝2－1.5（x＋1）＝2－1.5x－1.5＝y－1.5，即x增加1个单位，y平均减少1.5个单位．

2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b（　　）

A．可以小于0B．只能大于0

C．只能等于0D．只能小于0

选A∵b＝，∴b的取值是任意的．

3．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是（　　）

A．直线y＝bx＋a必经过点（，）

B．直线y＝bx＋a至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点

C．直线y＝bx＋a的斜率为

D．直线y＝bx＋a与各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的接近程度[yi－（bxi＋a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线

选B直线y＝bx＋a一定过点（，），但不一定要过样本点．

4．（湖南高考）设某大学的女生体重y（单位：

kg）与身高x（单位：

cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是（　　）

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（，）

C．若该大学