数学建模自动化车床管理中的故障检查与刀具更换模型文档格式.docx
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随着我国工业生产的飞速发展,制造业的生产技术已经进入自动化生产时代。
但是,自动车床一旦发生故障而又未能及时检查出来,将会产生大量的不合格品,不仅给企业带来严重的经济损失,而且造成资源的严重浪费。
因此,对自动化车床进行高效的管理显得尤为必要。
现已知某自动化车床连续加工零件,由于各种因素出现故障导致工厂遭受损失,效益变低。
根据故障类型、发生的频率,将自动车床发生的故障分为刀具损坏故障,其它故障。
分别占故障总数的95%和5%。
为了及时检查出机器是否发生故障,工作人员通过检查零件是否出现故障。
根据积累的100次刀具故障记录和生产工序的费用参数,解决以下三个问题:
(1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品,正常时产出的零件均为合格品,试制定检查间隔与刀具更换策略使得工厂遭受的损失最少;
(2)假设工序正常时产出的零件不合格品概率为2%,工序故障时产出的零件有40%为合格品。
工序正常而误认为有故障造成车床停机会造成1500元/次的损失费。
试改进问题一的检查间隔和刀具更换策略;
(3)在
(2)的假设条件下,考虑改进的检查方式以获得更高的效益。
二、问题分析
题目中工序出现故障是完全随机,且生产任一零件时出现故障的机会均相同。
由此,在理论上我们可以将问题转化为概率模型。
首先,根据刀具故障占95%这一条件,可以认为故障的发生与刀具的寿命密切相关。
为了估计刀具的寿命,通过对附件中100次刀具故障记录的数据进行分析与处理,将100次刀具故障记录的数据绘制出频率分布图,可以发现其图像较符合正态分布。
为了验证该猜想,对其做进一步的正态分布检验,发现其正态分布的检验效果很好。
据此,可以进一步用极大似然估计法确定其分布中的参数。
由于发生故障后调节使恢复正常时需花费3000元/次,大于更换刀具费用1000元/次。
则认为其具体做法为:
在刀具更换时先对工序进行检修,若有故障则对其进行修理,花费3000元,若无故障则更换刀具,花费1000元。
由于需要求解的参数有刀具更换间隔和检查间隔两个参数,如果同时找其最优解会十分复杂,因此我们采取分级优化的方式,即先求得一个参数的最优解,再以该参数为基础,求得另一个参数的最优解。
由于刀具的更换主要考虑的因素为刀具的寿命,且更换刀具可以避免刀具故障的发生,因此,刀具更换间隔对检查间隔的依赖很小,且对效益的影响程度很高。
所以,我们采用先求解刀具更换间隔、再以此为基础求解检查间隔的方法。
因为更换刀具可以避免刀具故障,故对故障的发生点分两种情况讨论:
故障发生在刀具更换间隔内和故障发生在刀具更换间隔外。
利用问题中不同的假设条件,对这两种情况作详细讨论,即可求解出效益最好的检查间隔和刀具更换间隔。
对于检查间隔的求解,需要在以下两种条件下分别进行讨论:
在工序正常时只产生合格品、工序故障时只产生不合格品的条件下,检查出不合格零件即可认为车床发生故障。
根据刀具寿命的分布,可以得出工厂损失期望的表达式,利用MATLAB即可解出最优的检查间隔。
当考虑到工序正常也会生产不合格品,工序故障也会生产合格品时,检查时可能会产生误判。
工序正常时认为工序故障会造成停机,工序故障时认为工序正常会造成不合格品比例增大。
故可根据工序正常与否、检查结果正确与否分四种情况进行讨论,即:
工序故障且检查结果为有故障、工序故障但检查结果为无故障、工序无故障且检查结果为无故障、工序无故障但检查结果为有故障四种情况。
再利用刀具寿命的分布,可以列出总损失期望的表达式,同样利用MATLAB即可解出最优的检查间隔。
问题三假设与问题二相同,但由于前面两个问题在检查时均通过检查一个零件来判断车床是否发生故障,因此这种检查方式很容易导致判断错误。
故考虑改进检查方案,可以通过增加检查零件的个数,来减小判断错误出现的概率。
建模时确定检查零件中不合格品的比例,当不合格品的比例超过该值后即可判断车床出现故障。
基于问题二的检查间隔和刀具更换策略,可以得出损失期望的表达式,并求解得出最优的比例系数。
三、问题假设
(1)假设自动化车床故障种类中其它故障任何措施都无法避免;
(2)假设工人每次检查能准确检测合格品与不合格品;
(3)假设当故障发生后更换刀具,按维修情况来处理;
(4)假设只有工序处于故障状态下生产的不合格品才需要考虑零件损失费;
(5)假设两次检查期间故障发生时刻服从均匀分布;
(6)假设生产加工时每个零件合格与否相互独立;
四、符号与变量说明
符号
说明
单位
检查间隔
个
刀具更换周期
刀具寿命
刀具寿命的分布函数
无
刀具寿命的概率密度分布
自动车床连续加工零件个数
刀具运行次总费用的期望
元
故障时产出的零件损失费用
发现故障调节使恢复正常的费用
未发现故障时更换一把新刀具的费用
元/次
刀具更换间隔内刀具连续工作的平均长度
工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用
五、模型建立与求解
建立车床管理模型,使得检查间隔和刀具更换周期达到最好的效益。
重点在于确切的估计出刀具寿命的分布。
根据刀具寿命的概率密度函数,估计出连续加工零件时每一个零件出现故障的概率。
结合生产工序的费用参数,确定损失的期望。
优化检查间隔和刀具更换间隔,使得损失的期望最小。
5.1建模准备
5.1.1确定刀具寿命分布
1、样本数据分析
为了估计刀具寿命的分布,根据题目附件提供的100次刀具故障记录的数据,运用SPSS软件对其进行分析和处理,结果如下:
表1:
100次刀具故障记录数据统计表
N
均值
标准差
M2统计值
M2统计值^1∕2
100
600.00
196.629
38276
195.64
=600.00"
196S29N=IOa
图1:
故障件完成零件个数直方图
根据直方图发现,刀具故障完成零件数的频数分布与正态分布函数曲线有很好的拟合度。
2、样本数据正态检验:
(1)对故障间完成的零件数运用SPSS进行正态P-P分析,P-P图拟合结果为:
故障间充成的零件数的正态PT图
1∩
0.B-
0.6-
04-
0.2-
0.0'
0.0020.40.60.01.0
规測的累积KS率
图2:
故障间完成的零件的正态P-P图
P-P图拟合结果为一条近似的直线,拟合结果较好。
故采用正态分布描述刀具寿命的分布。
(2)对刀具故障数据运用SPSS进行K-S检验,检验结果为:
样本谷量N
正态参数
600.0000
196.62917
取极端差别
绝对值
0.042
正
表2:
单样本KOImOgOrOV-Smirnov检验
负
-0.041
KOImOgOrOV-SmirnovZ
0.421
渐近显著性(双侧)
0.994
3、正态分布参数估计假设刀具寿命服从正态分布,且假设题目所给样本来自于正态总体,用极大似然估计法估计正态参数以确定其分布:
设是样本观测值,由于正态总体的概率密度为
构造似然函数为:
对似然函数取对数得:
由似然方程组
解得
代入数据计算得:
故刀具寿命服从参数为的正态分布,概率密度为:
5.2刀具更换间隔模型
刀具更换策略通过预测故障发生时间,在连续工作生产一定数目的零件后,定期更换刀具以减少损失。
根据刀具寿命的分布,故障可能发生在刀具更换之前,也可能发生在刀具更换之后。
以两次刀具更换间隔为一个周期,该模型的目标函数应为刀具运行周期内的零件平均损失。
假设为零件数,刀具寿命X的分布函数,刀具的平均寿命为,刀具发生故障后带来的损失为,未发生故障时采取预防性刀具更换策略的花费为,则总费用期
望:
零件的平均损失费用:
一个周期内刀具连续工作的平均长度为:
则目标函数为:
其中,
使得上式(11)取得最小值的即为最优的刀具更换间隔。
5.3检查间隔模型无论工序正常时产出不合格零件,还是工序故障产出合格零件,均会影响检查结果。
工作人员通过检查一个零件的方式判断车床是否出现故障,需考虑误判的可能性。
故在不同假设条件下建立检查间隔模型。
5.3.1问题一的检查间隔模型根据问题一的条件,工序故障时产出的零件均为不合格品,工序正常产出的均为合格品。
若刀具更换间隔内检查出故障,费用分为三部分:
检查费、故障时产出的零件损失费、发现故障进行调节使恢复正常的费用;
若刀具更换间隔内未检查出故障,费用分为两部分:
检查费、未发现故障时更换一把新刀具的费用。
假设为车床连续加工零件个数,刀具更换间隔为,检查间隔为,刀具寿命的概率密度函数为。
则:
1、刀具更换的间隔内检查出故障时损失费用为
根据假设(5)故障在检查的间隔内均匀分布。
故当检查出故障时,平均故
障运行时间为,故障情况下加工零件的损失费用为:
代入零件损失费元/次,则。
设为刀具的工作寿命,检查次数为,检查费用为代入检查费用为元/次,则。
发现故障进行调节使回复正常的平均费用元/次。
刀具发生故障后损失为:
其中,为加工零件的数量,为刀具的工作寿命。
2、刀具更换间隔内未发生故障损失费用
检查费用为代入元/次,则,未发生故障更换一把新刀具的费用为。
刀具未发生故障损失为:
3、目标函数刀具运行一个周期内损失期望即为目标函数:
其中:
为
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