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由图像知开口向下,存于最大值,且45<57<69。
∴当x=57时
Ymax=432
亲爱的同学,若请你帮该商场决策,你知道每件售价是多少最为合适吗?
评述:
本题显然是壹道于实际生活中能够碰得到的实际问题,而且也确实能够使用我们学过的知识提供壹定程度的参考,不过本题能够作壹些延伸:
1.本题为什么每件商品的售价被限定于45元和69元之间呢?
2.该服装的售价能够超过69元吗?
3.该函数的图像仍能够向俩端延伸吗?
例2共产品每件的成本价是120元,试销阶段中每件产品的销售价x(元)和产品的月销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元),130,150,165
y(件),70,50,35
若月销售量y是销售价x的壹次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售应为多少元?
此时每日的销售利润是多少?
(销售利润=销售价-成本价)
从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题,形式多样,涉及的知识点比较广,且须注意知识的有机的融合,是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。
该题涉及壹次函数、二次函数。
建立二次函数需要领会题意,且于此基础上求函数的最值。
以销售为数学模型的函数应用题,既考查了学生的知识,又考查了学生的能力。
①“销售利润=销售价-成本价”这是题目给出的式子,因此每件产品的销售利润和销售价、成本价有关。
每日的销售利润应是每日销售量y(件)和每件产品销售利润的积。
这是解决此题的关键,也是营销问题中的常识。
②以表格形式给出了x(元)和y(件)的对应关系,且进而指出销售量y是销售价x的壹次函数,为用待定系数法求解析式提供了可行性和新颖性。
③于分析和综合的基础上,每日的销售利润应是y(x的壹次函数)和每件产品销售利润(x的壹次函数)的积,实质为x的二次函数,于是求函数的最值,就是求日最大利润的问题了。
④于实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。
例如,销售价x元壹般不能低于成本价,否则要亏本,更无从谈利润;
销售量只能是非负数等。
设y=kx+b,当x=130时,y=70;
当x=150时,y=50,得方程组:
解得:
∴y=-x+200
设每日销售利润为Z元,每件产品的销售利润是(x-120)元,于是
∴当时,
即当每件产品的销售价定为160元时,每日的销售利润最大,最大利润为1600元。
例3某剧院设有1000个座位,门票每张3元可达客满,据长期的营业进行市场估计,若每张票价提高x元,将有200x张门票不能售出。
(1)求提价后每场电影的票房收入y(元)和票价提高量x(元)之间的函数关系式和自变量x的取值范围。
(2)若你是经理,你认为电影院应该怎样决策(提价仍是不提价),若提价,提价多少为宜?
若提价x元后,则每张票价变为(x+3)元,出售的门票总数为:
(1000-200x)张,则票房的收入变为:
(x+3)·
(1000-200x)。
至于电影院到底应该怎样决策,显然票房的收入y是提高的价x的二次函数,能够对其进行配方,进而求出最高的提价。
(1)由题意知:
又
∴x的取值范围是:
(2)
∴当时,。
∴电影院应每张门票提价1元为宜。
接下来我们再来见壹见1998年河北省的壹道中考题。
亲爱的同学,你能试着顺利地完成它吗?
例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克,计划利用这俩种原料生产A、B俩种产品共50件。
已知生产壹件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;
生产壹件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B俩种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你给设计出来。
(2)设生产A、B俩种产品获总利润为y(元),其中壹种的生产件数为x,试写出y和x元间的函数关系式,且利用函数的性质说出
(1)中哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
本题是生产运营决策问题。
于市场经济竞争十分激烈的今天,帮助学生学会比较,学会挥优决策,是素质教育的要求,也是近年中考的热门题型。
本题所涉及的知识点有:
不等式(组)、壹次函数。
解决这类问题的关键是,建立相应的数学模型。
(1)A、B俩种产品的生产件数,受总件数50和所需俩种原料库存量的制约。
所以可由此得出不等组,从而确立A、B俩种产品生产件数的范围,通过进壹步讨论可选择其生产方案。
(2)列出总利润和产品生产数量之间的函数关系,根据函数的增减性质,就能够解决本题。
(1)设安排生产A种产品。
件,则生产B件产品(50-x)件。
依题意,得
解之,得
∵x为整数,∴x只能取30,31,32。
相应的(50-x)的组为2019,18。
。
所以生产的方案有三种:
第壹种:
生产A种产品30件,B种产品20件;
第二种:
生产A种产品31件,B种产品19件;
’。
第三种:
生产A种产品32件,B种产品18件。
(2)设生产A种产品件数为x,则生产B种产品的件数为50-x。
其中x只能取30、31、32,
∴此壹次函数中y随x的增大而减小。
∴当x=30时,y的值最大。
故按第壹种方案安排生产,获总利润最大,最大利润为:
-500×
30+60000=45000元。
例5某工厂计划出售壹种产品,固定成本为2000000元,球台生产成本为3000元,销售收入为5000元。
求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系,且作出简要分析。
总成本和总产量的关系
Q=2000000+3000x,
单位成本和总产量的关系
销售收入和总产量的关系:
R=5000x。
利润和总产量的关系。
①从利润关系式可见,欲求较大的利润,应增加产量(于不考虑销售的情况下),若x<1000,则要亏损;
若x=1000,则利润为零;
若x>1000,则可盈利。
这壹点也能够从上面的图像中见出,俩条直线的交点就是平衡点。
②从单位成本和总产量呈反比例的关系可见,为了降低成本,应增加产量,这样才能降低成本,形成规模效益。
例6今拟建壹排4门的猪舍(如图),由于材料的限制,围墙和墙的总长度只能造p米,问x为多少时,猪舍面积最大?
∴当米时,猪舍面积最大。
答:
米时,猪舍面积最大。
说明:
本题列式的关键,于于找出长方形的长和宽。
对于求极值,是否采用配方法,则能够根据自己的习惯,本题所用的配方法是解决此类问题的通法。
现代生活中,信息显得十分重要,而报纸作为大众传媒的壹种,是壹种传递信息的重要载体。
正因如此,我们很多人均有抽空着报纸的习惯。
下面我们就来研究壹下报摊卖报的问题,请你帮助业主设计壹下最佳办法。
例7某市壹家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元,卖出的价格是每份0.20元,卖不掉的以每份0.04元退回报社,于壹个月(30天)里,有20天每天可销售400份,其余的10天仅售250份。
但每天从报社买的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?
本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式,从而解决问题。
设每天从报社购进x份(),每月售出(20x+10×
250)份,退回10(x-250)份,由于卖出获利,退回亏损均为0.08元,则
y=0.08(20+2500)-0.08(x-250)×
10=0.8+400
这显然是壹个k>0的壹次函数,函数值y随着自变量x的增大而增大的,所以
当x=400时,ymax=720(元)。
应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大,最大利润是720元。
此题是壹道十分典型的应用题。
它适用于卖报、卖书、卖书刊。
随着数字的变化,可编撰成壹道道试题。
可是解法却是不变的,应注意此题的解法。
例8某房地产公司要于荒地ABCDE(如图)上画出壹块长方形地面(不改变方向),建造壹幢8层楼公寓。
问如何设计才能使公寓占地面积最大?
且求出最大面积(精确到1m2)。
于线段AB上任取壹点P,分别向CD、DE作垂线,即可保持原来方位,画得壹块长方形土地。
显然,土地面积决定于P于AB上的位置。
建立如图所示的坐标系,则AB的方程为过A(0,20)、B(30,0)则的壹条直线。
设直线AB的方程为y=ka+b则又因为A、B俩点于直线上,
由于P点于直线上,故可得P点的坐标为(∴P点坐标满足函数的解析式),则长方形的面积为:
化简得:
对函数的解析式进行配方得
当时,。
由此题可见,公寓占地面积和楼房层数无关,且非所有信息均是有用的,这也是应用题和通常题目的壹个重要区别。
例9某房屋开发公司用100万元购得壹块土地,该地能够建造每层1000㎡的楼房,楼房的总建筑费用和建筑高度有关,楼房升高壹层,整幢楼房每㎡建筑费用平均提高5%,已知建筑5层楼时,每㎡的建筑费用为400元,为了使该楼每㎡的平均综合费用最省(建筑费用和购地费用之和),公司应把楼建成几层?
设该楼建成x层,则根据题意得每㎡的购地费用为:
(元)
每㎡的建筑费用为:
400+400(x-5)·
5%(元),所以每㎡的平均综合费用为:
即得含费用最少为
可见公司应该把楼房建成7层。
上面的例子是关于建造楼房的问题,于生活中,安居工程确实是老百姓比较关心的问题之壹。
这壹点就是生活于校园内的同学们也有所耳闻。
有多少家梦想住人宽广静适的套房啊!
下面我们就来研究壹下壹道关于单位职工住房公积金的问题。
例10某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金,办法如下:
每月工资数,公积金
100元以下,不交纳
100~200元,交纳超过100元部分的5%
200~300元,100~200元部分交纳5%,200~300元部分交10%
300之上,100~200元部分交纳5%,200~300元部分交10%300元之上部分交纳15%
设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,求y和x之间的关系式,且画出图像。
①当0<x<100时,y=x
②当100≤x<200时
y=100+(x-100)(1-5%)=0.95x+5
②当200≤x<300时
y=100+100(1-5%)+(x-200)(1-10%)=0.9x+15
②当时
y=100+100(1-5%)+100(1-10%)+(x-300)(1-15%)
=0.85x+30
此题系分段函数,其对x的取值范围的讨论具有典型性,即应本着既不重复,也不遗漏的原则。
凡关于壹些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。
某生产队有60米长的壹段篱笆,现用来围壹个矩形的苗圃,壹面能够利用壹条小溪作天然屏障,问应怎样围法,可使苗圃面积
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