三角函数复习教案Word文档下载推荐.doc
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例3设θ是第二象限角,且满足|sin|=-sin,是哪个象限的角?
解∵θ是第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+,k∈Z.
∴kπ+<<kπ+,k∈Z.
∴是第一象限或第三象限角.①
又∵|sin|=-sin,∴sin<0.∴是第三、第四象限的角.②
由①、②知,是第三象限角.
点评已知θ所在的象限,求或2θ等所在的象限,要运用终边相同的角的表示法来表示,否则易出错.
第2课同角三角函数的关系及诱导公式
【考点指津】
掌握同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1,=tanα,tanαcotα=1,掌握正弦、余弦的诱导公式.能运用化归思想(即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题)解题.
【讲练平台】
例1化简.
分析式中含有较多角和较多三角函数名称,若能减少它们的个数,则式子可望简化.
解原式==
==1.
点评将不同角化同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法.
例2若sinθcosθ=,θ∈(,),求cosθ-sinθ的值.
分析已知式为sinθ、cosθ的二次式,欲求式为sinθ、cosθ的一次式,为了运用条件,须将cosθ-sinθ进行平方.
解(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-=.
∵θ∈(,),∴cosθ<sinθ.
∴cosθ-sinθ=-.
变式1条件同例,求cosθ+sinθ的值.
变式2已知cosθ-sinθ=-,求sinθcosθ,sinθ+cosθ的值.
点评sinθcosθ,cosθ+sinθ,cosθ-sinθ三者关系紧密,由其中之一,可求其余之二.
例3已知tanθ=3.求cos2θ+sinθcosθ的值.
分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式,所以可转化成tanθ的式子.
解原式=cos2θ+sinθcosθ===.
点评1.关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子.
2.注意1的作用:
1=sin2θ+cos2θ等.
第3课两角和与两角差的三角函数
(一)
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想(将不同角化成同角等)解题.
例1已知sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,求cos(α-β)的值.
分析由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式,而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式,所以将已知式两边平方.
解∵sinα-sinβ=-,①cosα-cosβ=,②
①2+②2,得2-2cos(α-β)=.
∴cos(α-β)=.
点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异.
例2求的值.
分析式中含有两个角,故需先化简.注意到10°
=30°
-20°
,由于30°
的三角函数值已知,则可将两个角化成一个角.
解∵10°
,
∴原式=
===.
点评化异角为同角,是三角变换中常用的方法.
例3已知:
sin(α+β)=-2sinβ.求证:
tanα=3tan(α+β).
分析已知式中含有角2α+β和β,而欲求式中含有角α和α+β,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角.
解∵2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,
∴sin[(α+β)+α]=-2sin[(α+β)-α].
∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=-2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα.
若cos(α+β)≠0,cosα≠0,则3tan(α+β)=tanα.
点评审题中要仔细分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将α+β看成一个整体
第4课两角和与两角差的三角函数
(二)
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;
能灵活运用和角、差角、倍角公式解题.
例1求下列各式的值
(1)tan10°
+tan50°
+tan10°
tan50°
;
(2).
(1)解原式=tan(10°
+50°
)(1-tan10°
)+tan10°
=.
(2)分析式中含有多个函数名称,故需减少函数名称的个数,进行切割化弦.
解原式==
=
=
点评
(1)要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB),asinx+bsinx=sin(x+φ)的运用;
(2)在三角变换中,切割化弦是常用的变换方法.
例2求证=.
分析三角恒等式的证明可从一边开始,证得它等于另一边;
也可以分别从两边开始,证得都等于同一个式子;
还可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式.
由欲证的等式可知,可先证等式=,此式的右边等于tan2θ,而此式的左边出现了“1-cos4θ”和“1+cos4θ”,分别运用升幂公式可出现角2θ,sin4θ用倍角公式可出现角2θ,从而等式可望得证.
证略
点评注意倍角公式cos2α=2cos2α-1,cos2α=1-2sin2α的变形公式:
①升幂公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,②降幂公式sin2α=,cos2α=的运用;
三角恒等式证明的方法:
从一边推得另一边;
左右归一,先证其等价等于等式;
分析法等.
例3已知cos(+x)=,<x<,求的值.
解原式==sin2x×
=sin2xtan(+x)
=-cos[2(x+)]tan(x+)=-[2cos2(x+)-1]tan(+x)
∵<x<,∴<x+<2π.
∴sin(+x)=-,∴tan(+x)=-.
∴原式=-.
点评
(1)注意两角和公式的逆用;
(2)注意特殊角与其三角函数值的关系,如1=tan等;
(3)注意化同角,将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+.
第5课三角函数的图象与性质
(一)
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,能运用数形结合的思想解决问题,能讨论较复杂的三角函数的性质.
例1
(1)函数y=的定义域为
(2)若α、β为锐角,sinα<cosβ,则α、β满足(C)
A.α>βB.α<βC.α+β<D.α+β>
分析
(1)函数的定义域为(*)的解集,由于y=tanx的最小正周期为π,y=sinx的最小正周期为2π,所以原函数的周期为2π,应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(-,)上满足(*)的x的范围,再据周期性易得所求定义域为{x|2kπ-<x<2kπ+,或2kπ+<x<2kπ+,k∈Z}.
分析
(2)sinα、cosβ不同名,故将不同名函数转化成同名函数,cosβ转化成sin(-β),运用y=sinx在[0,]的单调性,便知答案为C.
点评
(1)讨论周期函数的问题,可先讨论一个周期内的情况,然后将其推广;
(2)解三角不等式,要注意三角函数图象的运用;
(3)注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小.
例2判断下列函数的奇偶性:
(1)y=;
(2)y=
分析讨论函数的奇偶性,需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后考f(-x)是否等于f(x)或-f(x).
解
(1)定义域关于原点对称,分子上为奇函数的差,又因为1+cosx=2cos2,所以分母为偶函数,所以原函数是奇函数.
(2)定义域不关于原点对称(如x=-,但x≠),故不是奇函数,也不是偶函数.
点评将函数式化简变形,有利于判断函数的奇偶性.
例3求下列函数的最小正周期:
(1)y=sin(2x-)sin(2x+);
(2)y
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