第20讲 一次不定方程wWord文档格式.docx
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由②知y>2x,由①知x为偶数,其可能取值为2,4,…,48.取x=2,4,…,48计算y值.只有当x=14时,y=32是整数,所以李林支票面额为14.32元,兑换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.
例2(1995年云南昆明市初中数学竞赛)
用5元钱共买西瓜、梨子、山楂共100个,西瓜一个5角,梨子一个1角,山楂十个1角,可每样各买多少个?
设西瓜、梨子、山楂分别买了x,y,z个,根据题意,得
消去z,得49x+9y=400.
可知x不能为大于2的自然数,
当x=1时,y=39,z=60;
当x=2时,y无整数解.
可买西瓜1个,梨子39个,山楂60个.
例3(2003年四川省初中数学竞赛试题)
一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区。
他们出发后每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后达到目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点。
试问:
科学考察队在生态区考察了多少天?
[解]设考察队到生态区用了x天,返回用了y天,考察用了z天,则有
方程
(2)有一个特解是通解是
于是有x+y=42t-5(t是整数)
注意到0<
x+y<
60,0<
42t-5<
60,显然仅当t=1时才符合题意,这时x+y=37,于是有x=-3+25=22。
例4(1996年山东省初中数学竞赛)
某市为鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:
每月每户用水不超过10吨部分按0.45/吨收费;
超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费;
超过20吨部分按1.50元/吨收费。
某月甲户比乙户多缴水费7.10元,乙户比丙户多缴水费3.75元。
问甲、乙、丙户该月各缴水费多少(自来水按整吨收费)?
解设丙户用水x吨(x为整数,且0<
x≤10),乙户用水(10+y)吨(y为整数,且0≤y≤10)。
因乙户比丙户多缴3.75元,得
即9x-16y=15。
因3能整除9和15,但不整除16,则3必整除y,即y是3的倍数。
又0<
y≤10.
故y只能取3,6,9.经检验知y=3是惟一能使x为整数的值,得x=7。
同理,设甲户用水(20+z)(z为整数,且z>
0)吨,因甲户比乙户多缴7.10元,得
即8y-15z=9。
由y=3,解得z=1。
所以甲户缴水费14元,乙户缴水费6.9元,丙户缴水费为3.15元。
例5(2004年重庆市初中数学竞赛试题)
某校七年级的新生男女同学的比例为8:
7,一年后收转学生40名,男女同学的比例变为17:
15,到九年级时,原校有转学走的,又有转学来的,统计知净增人数10名,此时男女同学的比例变为7:
6.问:
该校在七年级时,招收的新生中,各招了男女同学多少名?
(注:
该校七年级新生人数不超过1000人)
解设七年级共收新生15a人,八年级学生总数为32b人,九年
级学生总数为13c人,a.b,c均为整数,由题意,得
则(16b+5)是13的倍数,令16b=13k十8,即8(2b-1)=13k,知8|k.且k为奇数的倍数,
当k=8×
1时,b=7,代人①,得32×
7-40=184,184不是15的倍数:
3时,b=20,代人①,得32×
20-40=600,600是15的倍数:
5时,b=33,代入①,得32×
33-40=1016>
1000且1016不是15的倍数:
综上知,该校年级招收七年级新生600人,其中男生600×
=320人,女生280人.
例6(第六届“华罗庚杯”竞赛试题)
甲乙丙三个班向“希望工程”捐赠图书,已知甲班有1人捐6册,有2人各捐7册,其余每人各捐11册;
乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余每人各捐10册;
丙班有2人各捐十册,6人各捐7册,其余每人各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册,每个班捐书总数在400册与550册之间,问每班各有多少人?
12.设甲班x人,乙班y人,丙班:
人,则
甲班捐赠图书6+7×
2+11(x-3)=(llx-13)册,
乙班捐赠图书6+8×
3+lO(y-4)=(10y-10)册,
丙班捐赠图书4×
2+7×
6+9(z-8)=(9z-22)册,
根据题意,得
化简,得
又由题意,得
400≤llx-13≤550,.38≤x≤51.
由①知l0y的末位数是0,...∴11x的末位数为1,..,∴x=41或x=51.
当x=41时,y=42.但由②知z无整数解.
当x=51时,y=53,由②得z=49.
答:
甲班51人,乙班53人,丙班49人.
例7.(2003年湖南省长沙市初中竞赛试题)
某城市有一段马路需要整修,这段马路总长不超过3500米,今有甲、乙、丙三个施工队分别施工人行道、嚣机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工,每天24小时蔷续施工.若干天后的零时,甲队完成任务;
几天后的18时,乙队完成任务;
从乙队完成任务的当天零时起,再过几天后的8时,丙队完成任务.已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米,240米,180米,问这段路面有多长?
解设甲队a天完成,过b天后的18时乙队完成,从乙队完成任务的当天零时起,再过c天后的8时,丙队完成,则根据题意,得
即(*)
两式相加,得
代入方程组(*),得
令分式部分等于整数t,即c=t.
于是有一般解(t为正整数)
当t=l时,a=l1,b=2,c=5,此时300a=3300<
3500;
当t=2时,a≥23,b≥5,c≥10,此时300a≥6900>
3500矛盾.
因此,马路总长为3300米.
例8(1999年山东省初中数学竞赛)
现有质量分别为9克和13克的砝码若干只,在天平上要称出质量为3克的物体,问至少要用多少只这样的砝码才能称出?
并证明你的结论.
分析根据题意知,相同质量的砝码不会同时出现在天平的两个称盘之中,所以可以转化为求解不定方程的问题.
解假定当天平平衡时,用9克的砝码|x|只,当该砝码出现在被物体所在的称盘中时,x取负整数.同理,假定13克的砝码用了|y|只.所以当天平平衡称出了3克的物体时,应有9x+13y=3.
问题转变为在上述条件下,求|x|+|y|的最小值.
易得x=9,y=-6是该方程的一组解,则
两式相减,得:
9(x-9)-13(y+6)=0
因为9和13互质,x-9必被13整除,故设x-9=13k,这里k是整数,这时有
9×
13k=-13(y+6)
所以y=-6-9k.
总之,有k=0,±
1,±
2,……
(1)当k=0时,x=9,y=-6,|x|+|y|=15;
(2)当k≥1时,|x|≥22,|y|>0,从而|x|+|y|>22;
(3)当k≤-1时,若
k=-1,则x=-4,y=3,|x|+|y|=7;
若k<-1,则|y|≥12,|x|>0,从而|x|+|y|>12
由上述可知,至少要用7只这样的砝码,其中9克的4只,13克的3只.
原版赛题传真
同步训练
一选择题
1.(1987年部分省市通讯赛试题)
方程4x+5y=98的正整数解的个数是()
(A)4(B)5(C)6(D)无穷多
解:
这是一个二元一次不定方程.将原方程变为:
因为x是正整数,必须98-5y>
O,故y<
<
20,又y也为正整数,所以y只可能取正整数1,2,3,…,19.又必须98-5y是4的倍数,故98-5y是偶数,5y是偶数,即y应是偶数,从而y只能取2,4,6,8,10,12,14,16,18,将这些值逐个代入得
y
2
4
6
8
10
12
14
16
18
z
22
17
7
由上可见原方程有5个正整数解.选(B)
2.(2002年重庆初中数学竞赛试题)
从1分,2分,5分等3种硬币中取出100枚,总计3元,其中2分硬币枚数的可能情况有()
(A)13种(B)16种(C)17种(D)19种
解设1分,2分,5分的硬币分别有x,y,z枚,则有
消去z,得4x+3y=200
显然,y应该是4的倍数,设y=4k,上式可化为4x+12k=200,
3.(第11届“五羊杯”竞赛试题)
方程x+y+9z=99的正整数解(x,y,z)的个数是().
(A)999(B)485(c)199(D)99
3.B
解∵x+y+9z=99,x、y.z为正整数.∴z≤10.
若z=10则x+y=9,(x,y)有8组解:
(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1).
若z=9,则x+y=18,(x,y)有17组解;
.
若z=8,则x+y=27,(x,y)有26组解;
可以看出z每减少1,所得(x,y)解的个数增加9个.
若z=l,则x+y=90,(x,y)有89组解,
(x,y)正整数解的个数是
8+17+26+...+89=(8+89)x10=485
4.(1990年江苏省初中数学竞赛试题)
方程1990x-1989y=1991的一组正整数解是().
(A)x=12785,y=12768(B)x=12785,y=12770
(C)x=11936,y=11941(D)x=13827,y=12623
4.C
[提示:
只需检查尾数,答案:
(C).]
5.(第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题)
小英在邮局买了10元的邮票,其中面值0.10元的邮票不少于2枚,面值0.20元的邮票不少于5枚,面值0.50元的邮票不少于3枚,面值2元的邮票不少于1枚,则小英最少买了枚邮票.
(A)17(B)18(C)19(D)20
5.A
设小英买的面值0.10元的邮
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