穷举法详细Word文档下载推荐.docx

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Fora:

=2to1000do

Begin

S:

=0;

Forb:

=1toa-1do

Ifamodb=0thens:

=s+b;

{分解因子并求和}

Ifa=sthenbegin

Write（a,‘=’,1,）;

=2toa-1do

Ifamodb=0thenwrite（’+’,b）;

Writeln;

End;

End.

当程序运行后，输出结果：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

实例二：

（第七届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛初赛试题）

在A，B两个城市之间设有N个路站（如下图中的S1，且N<

100），城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段（各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数）。

A，B的一条通路是指：

从A出发，可经过任一路段到达S1，再从S1出发经过任一路段，…最后到达B。

通路上路段距离之和称为通路距离（最大距离≤1000）。

当所有的路段距离给出之后，求出所有不同距离的通路个数（相同距离仅记一次）。

例如：

下图所示是当N=1时的情况：

从A到B的通路条数为6，但因其中通路5+5=4+6，所以满足条件的不同距离的通路条数为5。

算法说明：

本题采用穷举算法。

数据结构：

N：

记录A，B间路站的个数

　　　　　数组D（I，0）记录第I-1到第I路站间路段的个数

　　　　　　　D（I，1），D（I，2），…记录每个路段距离

　　　　　数组G记录可取到的距离

PROGRAMCHU7_6；

　VARI，J，N，S：

INTEGER；

　　　　B：

ARRAY[0..100]OFINTEGER；

　　　　D：

ARRAY[0..100，0..20]OFINTEGER；

　　　　G：

ARRAY[0..1000]OF0..1；

　BEGIN

　　READLN（N）；

　　FORI:

=1TON+1DO

　　　BEGIN

　　　　READLN（D[I，0]）；

　　　　FORJ:

=1TOD[I，0]DO 

READLN（D[I，J]）；

　　　END；

　D[0，0]:

=1；

　FORI:

=1TON+1DO 

B[I]:

　B[0]:

=0；

=0TO1000DO 

G[I]:

　WHILE　①　DO

　　BEGIN

　　　S:

　　　FORI:

　　S:

=　②　

　　　　G[S]:

J:

=N+1；

　　　WHILE　③　DOJ:

=J-1；

　　　B[J]:

=B[J]+1；

=J+1TON+1DO　　 

　　END；

　S:

=1TO1000DO

　　　④　；

　WRITELN（S）；

READLN；

END.

答案：

①B[0]=0 

②S+D[I,B[I]];

③B[J]=D[J,0]④S:

=S+G[I]

实例三（第八届全国青少年信息学奥林匹克联赛（NOIP2002）试题）

将n个整数分成k组（k≤n,要求每组不能为空）,显然这k个部分均可得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为:

P=（S1-S2）2+（S1一S3）2+……+（S1-Sk）2+（s2-s3）2+……+（Sk-1-Sk）2

问题求解:

求出一种分法,使P为最小（若有多种方案仅记一种）

程序说明:

数组:

a[1],a[2],...A[N]存放原数

s[1],s[2],...,s[K]存放每个部分的和

b[1],b[2],...,b[N]穷举用临时空间

d[1],d[2],...,d[N]存放最佳方案

程序:

program 

exp4;

Var 

i,j,n,k 

:

integer;

a 

array 

[1..100] 

of 

b,d:

[0..100] 

s 

array[1..30] 

begin 

readln（n,k）;

for 

I:

=1 

to 

n 

do 

read（a[I]）;

=0 

b[I]:

=1;

cmin:

=1000000;

while 

（b[0]=1） 

do

begin

for 

k 

① 

② 

sum:

=0;

k-1 

j:

= 

③ 

=sum+（s[I]-s[j]）*（s[I]-s[j]）;

if 

④ 

then 

=sum;

d[I]:

=b[I];

end;

j:

=n;

⑤ 

=j-1;

b[j]:

=b[j]+1;

=j+1 

⑥ 

writeln（cmin）;

write（d[I]:

40）;

writeln;

end.

四、穷举算法的深入应用

一根29厘米长的尺子,只允许在上面刻七个刻度,要能用它量出1～29厘米的各种长度。

试问这根尺的刻度应该怎样选择?

（1）从1～29厘米中选择七个刻度的所有可能情况数是:

C729=29·

28·

26·

25·

24·

23=29·

9·

5·

2·

23=29·

23·

90=1560780

1·

3·

4·

6·

7

（2）对于每一组刻度的选择都需要判断是否能将1～29厘米的各种刻度量出来,例如选择的刻度为:

a1,a2,a3,a4,a5a,6,a7那么能量出的刻度为：

a1,29-a1;

2

a2,a2-a1,29-a2;

3

a3,a3-a1,a3-a2,29-a3;

4

a4,a4-a1,a4-a2,a4-a3,29-a4;

5

a5,a5-a1,a5-a2,a5-a3,a5-a4,29-a5;

6

a6,a6-a1,a6-a2,a6-a3,a6-a4,a6-a5,29-a6;

7

a7-a1,a7-a2,a7-a2,a7-a3,a7-a4,a7-a5,a7-a6,29-a7;

8

共可量出2+3+4+5+6+7+8种刻度,即35种刻度,事实上其中有许多刻度是重复的,不可能复盖1～29。

取a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7为1,3,6,10,15,21,28

能量出的刻度为：

1,28

3,2,26

6,5,3,23

10,9,7,4,19

15,14,12,9,5,14

21,20,18,15,11,6,8

28,27,25,22,18,13,7,1

缺16,17,24（29即尺子长度）

如果找出了刻度a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7那么我们可以利用其对称性29-a1,29-a2,29-a3,29-a4,29-a5,29-a6,29-a7,也是一组解,所以求解过程中可仅考虑a1<

a2<

a3<

a4<

a5<

a6<

a7的情况。

很显然要使1,28两种刻度能量出来,则在七个刻度就必须有1或28;

这样就可设a1=1（或a1=28）。

本题就变成了只要在2～27中选取六个刻度问题了。

其刻度选择的数目为C626=26·

22·

21=26·

11·

7=230230

1·

6

这样解的范围就从百万变成了十万的数量级,大大减少运行次数。

因此，我们在用穷举法求问题解时，应注意程序的优化，尽可能减少搜索时间。

{程序优化}

（3）为了判定七个刻度是否能够度量1～29的所有长度,可以用集合的方法,也可以用数组的0，1数据判断。

下面的程序使用了数组的0，1方法。

Programp12_2;

Constn=29;

m=1;

Vara：

array[1..7]ofinteger;

b：

array[1..n]of0..1;

{记录能量的刻度}

f：

Boolean;

I,j：

integer;

BEGIN

a[1]:

=m;

fora[2]:

=2ton-7do

fora[3]:

=a[2]+1ton-6do

fora[4]:

=a[3]+1ton-5do

fora[5]:

=a[4]+1ton-4do

fora[6]:

=a[5]+1ton-3do

fora[7]:

=a[6]+1ton-2do

fori:

=1to29dob[i]:

fori:

=1TO7do

begin

b[a[i]]:

b[n-a[i]]:

b[n]:

=1;

{初始化}

forj:

=i+1TO7dob[abs（a[j]-a[i]）]:

=1

=0;

f