人教版八年级数学下册第16章《分式方程》教学设计Word文档格式.docx
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2.明确解分式方程验根的必要性。
教学难点
明确解分式方程验根的必要性。
教学方法
启发引导、小组讨论、合作探究
教学媒体
课件
教学过程设计
(一)复习及引入新课
1.什么叫方程?
什么叫方程的解?
答:
含有未知数的等式叫做方程。
使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
2.在x=0,x=1,x=-1中,哪个是方程的解,为什么?
解:
(1)当x=0时,
左边=,
右边=0,
∴左边=右边,
∴x=0是方程的解。
(2)当x=1时,左式无意义,所以x=1不是方程的解。
(3)当x=-1时,左式≠右边,所以x=-1不是方程的解。
3.回到本章引言中的问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等。
江水的流速为多少?
设:
江水的流速为千米/时,则:
轮船顺流航行速度为千米/时,逆流航行速度为千米/时,顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用的时间为小时。
经过分析得到问题的量为两个分式:
、,
根据量间的关系列出方程:
思考
这个方程和我们以前所见过的方程有什么不同?
引出分式方程的概念。
(二)讲授新课,探索分式方程的解法
活动1
1.分式方程的主要特点是什么?
2.通过分析分式方程的特点,找出与其他方程不同之处。
3.结合方程的特点,探索如何解分式方程?
教师提出问题,学生思考、讨论;
师生共同得出结论:
分式方程的特征:
分母中含有未知数。
这是与前面我们学习的整式方程的最大区别点。
(整式方程的未知数不在分母中。
)
在探讨分式方程的解法时,可联系一元一次方程的解法。
如:
解方程
去分母,方程两边同乘以分母的最小公倍数6,得:
去括号,得:
移项,得:
合并同类项,得:
系数化为1,得:
由上述解法,我们自然会想到通过“去分母”实现把分式方程转化为整式方程。
“去分母”是将分式方程转化成整式方程的关键步骤。
解方程:
去分母,方程两边同时乘以各分母的最简公分母得
解得:
检验:
将代入原方程中,左边右边,因此是分式方程的解。
由此可知:
江水的流速为5千米/时。
归纳:
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
活动2
教师出示例题,学生动手操作,思考,然后分组交流。
教师进行评价,提出质疑,然后进行说明强调。
去分母,在方程两边同时乘以最简公分母,,得整式方程
。
师是原方程的解吗?
生将代入原分式方程检验,发现这时分母和的值都为0,相应的分式无意义,所以……。
师对,因此虽是整式方程的解,但不是原方程的解,实际上,这个分式方程无解。
活动3
思考:
在上面两个分式方程中,为什么①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?
学生思考,分母讨论,发表自己的见解。
通过讨论总结出问题的答案。
活动4
问题1:
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根:
那么是不是就不要这样的解呢?
采用什么样的方法补救?
问题2:
怎么检验较简单呢?
还需要将整式方程的解分别代入原方程的左、右两边吗?
教师提出问题,学生讨论、回答。
问题1的解答:
还是要把分式方程转化为整式方程来解,解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解。
问题2的解答。
不用,产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的。
因此最简单的检验方法是:
把整式方程的解代入最简公分母。
若使最简公分母为零,则是原方程的增根,若使最简公分母不为零,则是原方程的解。
是增根,必舍去。
一般地,说明原方程无解。
一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0。
因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;
否则,这个解不是原分式方程的解,是增根,舍去。
活动5
例1解方程:
例2解方程:
教师出示例题,学生动手操作
教师强调:
去分母时,方程两边的每一项都要乘同一整式,不要漏乘某项。
解分式方程的一般步骤如下:
(三)练习
练习:
教科书第35页练习
(四)小结
学习了哪些知识?
解分式方程的一般步骤是什么?
强调解分式方程的三个步骤:
(一去分母;
二解整式方程;
三检验)缺一不可。
其次使学生明白、体验“转化”思想。
(五)板书设计
分式方程
(一)
1.分式方程
特征:
分母中含未知数
2.分式方程的解法
(1)
(2)
例1:
例2:
3.解分式方程的一般步骤
(1)去分母
(2)解整式方程
(3)检验
4.练习
5.小结
分式方程教学设计第二课时
本节是用分式方程解决实际问题,目的是深入感受分式方程的模型思想。
经历用分式方程解决实际问题的过程,寻求实际问题中的等量关系,寻找不同的解决问题的方法。
教学目标
1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
2.用分式方程来解决现实情境中的问题。
3.解一类含已知字母的分式方程。
1.经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意,寻找等量关系,建立数学模型。
3.会解一类字母方程,发展符号感。
经历建立分式方程模型解决实际问题的过程,体会数学模型的应用价值,从而提高学习数学的兴趣;
1.审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型;
2.根据实际意义检验解的合理性。
寻求实际问题中的等量关系,寻找不同的解决问题的方法。
(一)复习
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1)解分式方程的基本思想方法:
(2)解分式方程的一般方法和步骤:
一般解法是去分母,具体步骤如下:
①去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;
②解这个整式方程;
③验根:
把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去。
(二)讲授新课
上节课,我们认识了分式方程这样的数学模型,并且学会了解分式方程。
接下来,我们就用分式方程来解决生活中的实际问题。
例3两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,哪个队的施工速度快?
教师展示例题。
学生读题。
因为理解问题本身是解决问题的基础。
然后让学生思考、分析、讨论。
师生共析:
这是一道工程问题,有工作效率、工作时间和工作总量等三个等量,其关系是:
工作总量=工作效率×
工作时间。
这里把总工程量为1。
甲队1个月完成总工程的,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的那么甲队半个月完成总工程的,乙队半个月完成总工程的。
两队半个月完成总工程的。
问题中的哪个等量关系可以用来列方程?
找出等量关系,根据分析,列出分式方程,并求解。
补充
某单位将沿街的一部分房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元。
第二年为10.2万元。
(1)你能找出这一情境的等量关系吗?
(2)根据这一情境,你能提出哪些问题?
(3)你能解决
(2)中提出的问题吗?
学生思考,交流,解出答案。
解
(1)等量关系:
第二年每间房屋的租金=第一年第间房屋的租金+500元
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋间数。
(2)提出的问题如下:
①每年各有多少间房屋出租?
②这两年每年房屋的租金各是多少?
(3)①设每年各有间房屋出租,那么第一年每间房屋的租金为,第二年每间房屋的租金为元,根据题意,得
解这个方程,得
经检验是原方程的解,也符合题意,所以每年各有12间房屋出租。
②第一年每间房屋的租金为(元)
第二年每间房屋的租金为(元)
例4从2004年5月起某列车平均提速v千米/时,用同样的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?
这是一个行程问题,它有三个量:
路程、时间、速度。
结合它们之间的关系:
路程=速度×
时间,及其题中的含义建立数学模型。
根据行驶时间的等量关系即可列出方程。
解略。
说明:
在本例中,出现了用一些字母表示已知数据的形式,这在分析问题寻找规律时经常出现。
此例的方程是以x为未知数的分式方程,其中v、s是已知常数,根据它们所表示的实际意义可知,它们是正数。
教科书37页的练习。
教师在本次活动中重点关注
(1)学生能否会解含字母的分式方程;
(2)学生能否找到能反映实际问题的数量关系,即:
等量关系;
(3)学生能否有条理地表达自己的思考过程;
(4)学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度。
本节课学习了哪些内容?
你有何收获?
列方程解应用题的关键是寻找等量关系。
分式方程
(二)
1.工程问题
例3工作总量=工作效率×
工作时间
2.行程问题
例4
(1)路程、时间、速度。
(2)字母v、s表示已知数据。
3.练习
4.小结
审请题意,找出等量关系
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- 分式方程 人教版 八年 级数 下册 16 分式 方程 教学 设计