高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库附带答案Word文件下载.docx

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9、．

10、。

11、y＝x＋，－5的最小值为．

12、　的单调减区间是．

13、在且仅在区间______________上单调増．

14、函数f（x）＝x＋2cosx在区间[0,]上的最大值为．

15、函数y＝的单调减少区间是．

16、已知点（1，3）是曲线的拐点，则a=，b=．

17、　　　　　　　　　　　　.

三、计算题

1、。

2、求极限．

3、求函数y＝2的单调区间、凹凸区间、拐点．

4、设常数，试判别函数在内零点的个数．

5、求函数的单调区间和极值．。

6．．

7．．

8．求曲线的单调区间和凹凸区间.．

9.求曲线的单调区间和凹凸区间.

10．求函数图形的凹凸区间及拐点．

11、.

12、求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．

13、．

14、

15、讨论函数的单调性和凹凸性．

16、求曲线的凹凸区间和拐点．

17.求函数在区间上的最大值与最小值．

18.求函数在区间[-2，0]上的最大值和最小值．

19.试确定常数a、b、c的值，使曲线在x=2处取到极值，且与直线

相切于点（1，0）．

四.综合题（第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分）

1．证明：

当x时，．

2、．

3、证明：

．

4、设在[0,1]上可导，f（x）＝（x－1），求证：

存在x（0，1），使．

5、试用拉格朗日中值定理证明：

当时，．

6、证明：

当时，．

7、．

8、证明：

当x>

0时，有1+．

9、证明当．

10、证明：

若，则．

11、

12、证明：

多项式在[0，1]内不可能有两个零点．

13、证明当.

答案：

一、选择

1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A

二、填空

1、

2、

3、

4、2

5、

6、2,1

7、

8、

9、

10、

12、

13、-14

15、

16、

17、

1、解：

令可得驻点：

……2分

列表可得

函数的单调递增区间为，单调递减区间为……5分

极大值为极小值……7分

2、解：

原式＝……6分

3、解：

函数的单调递增区间为，单调递减区间为……4分

又令得.……5分

所以凸区间为,凹区间为.拐点为.……7分

4、解：

……1分

当时,,所以在上单调增加;

又,充分接近于0时,,……3分

故在内有且仅有一个零点.……4分

同理,在内也有且仅有一个零点.……6分

5、解：

解可得驻点：

6、解：

原式＝……2分

＝……4分

＝……6分

7、解：

当单调增加时，函数单调减少，

所以函数也是单调减少。

在区间函数是单调的减函数。

所以当时，函数取得最大值；

……4分

所以当时，函数取得最小值。

……6分

8、解：

令，于是。

当时，，函数单调增加；

当时，，函数单调减少。

所以函数的单调增区间为：

；

函数的单调减区间为：

。

而令，于是。

……5分

函数的凸区间为：

函数的凹区间为：

9、解：

因为

，

所以令得到。

函数的单调增区间为：

；

。

又由于

，

于是函数的凸区间为：

函数的凹区间为：

10、解：

因为：

，……2分

令，得到：

函数的拐点为：

11、解：

……3分

令得从而得曲线的可能为

，又二阶导数在该两点左右异号。

所以为曲线的

拐点……6分

12、解：

令

令……3分

列表如下

x

x=1

（1,2）

x=2

（2,3）

x=3

+

-

y=f（x）

单调增，凹

极大值

f

（1）=0

单调减，凹

拐点

（2，-2）

单调减，凸

极小值

f（3）=-4

单调增，凸

……7分

13、解：

令……3分

比较函数在端点和驻点处的函数值，得为

14、解：

令，得，…….3分

-1

（-1,0）

（0,1）

1

单调递减

凹区间

凸区间

极小值点

单调递增

15、解：

（0,e）

单调递增，凹函数

单调递减，凹函数

拐点

单调递减，凸函数

…….6分

16、解：

，拐点为……4分

凹区间为凸区间为（-1，1）……6分

17、解：

由于……2分

所以，函数在[-1，3]上的驻点为。

……3分

当x=0时，y=2,x=2时，y=-14……5分

而x=-1时，y=-2,x=3时，y=11……7分

所以函数的最大值为11，最小值为-14……8分

18、解：

由于……2分

所以，函数在[-2，0]上的驻点为。

当x=-1时，y=3，而x=--2时，y=--1,x=0时，y=1……5分

所以函数的最大值为3，最小值为-1……6分

19、解：

根据已知条件得……4分

解上面方程组得……7分

四、综合题

（1）证：

令，

显然在区间上连续的，可导的。

并且……2分

由于

，

对于任意的，。

所以函数在区间上单调增函数。

于是对于任意的，有

即为：

……6分

（2）证：

令

所以

（3）证：

令……4分

所以f（x）恒为常数，

又，从而……6分

（4）证：

因为在[0,1]上可导，所以f（x）＝（x－1）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。

……4分

根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x（0，1），使……8分

（5）证：

设，则……1分

对用拉格朗日中值定理得，其中……4分

而，所以……6分

（6）证：

令……1分

则。

……3分

因为当时，，……4分

所以在上是严格单调连续递增函数，并且，……5分

故当时，，即。

……6分

（7）证：

令……1分

对利用柯西中值定理存在

使得……3分

即……4分

又由于，，所以……6分

（8）证：

令

　故时,即……5分

从而……6分

（9）证：

令

因为……4分

故时,,即……6分

（10）证：

……2分

则在的范围中是可导的，且。

，

对于任意的，有。

所以函数在的范围中是单调上升的。

于是，对于任意的，有

即：

（11）证：

令

显然函数在区间上连续并且可导。

且有：

而且对于任意的，……4分

所以对于任意的，

，

于是原不等式成立。

（12）证：

假设函数在区间上至少存

在两个不同的零点。

函数在区间上连续，可导。

于是有

根据罗尔中值定理，则存在一点，

使得

显然这是不可能的。

所以假设不成立。

（13）证：

令……4分

所以当x>

1时，f（x）>

f

（1）=0,即有……6分

（14）证：

令……3分

所以，即…….6分