九年级数学竞赛专题24 平面几何的定值问题Word格式.docx
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【例2】如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P()
A.到CD的距离保持不变B.位置不变
C.等分D.随C点的移动而移动
(济南市中考试题)
添出圆中相关辅助线,运用圆的基本性质,用排除法得出结论.
【例3】如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足.求证:
不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.
(加拿大数学奥林匹克试题)
不管ST滑到什么位置,∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.
【例4】如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°
.点C是上异于A,B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E.连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE.
(1)求证:
四边形OGCH是平行四边形;
(2)当点C在上运动时,在CD,CG,DG中,是否存在长度不变的线段?
若存在,请求出该线段的长度;
(3)求证:
CD2+3CH2是定值.(广州市中考试题)
延长OG交CD于N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质,实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系,再以Rt△OND为基础,通过勾股定理,使问题得以解决.
【例5】如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点.若点A的坐标为(-2,0),AE=8.
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG,BC,求证:
MG∥BC;
(3)如图2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发
生变化?
若不变,求出比值;
若变化,说明变化规律.(深圳市中考试题)
解题思路:
对于(3)从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.
(图1)(图2)
【例6】如图,已知等边△ABC内接于半径为1的圆O,P是⊙O上的任意一点.求证:
PA2+PB2+PC2为定值.
当点P与C点重合时,PA2+PB2+PC2=2BC2为定值,就一般情形证明.
【能力训练】
A级
1.如图,点A,B是双曲线上的两点,分别经过A,B两点向x轴,y轴作垂线段.若S阴影=1,则_______.
(牡丹江市中考试题)
(第1题图)(第3题图)(第4题图)
2.从等边三角形内一点向三边作垂线段,已知这三条垂线段的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是__________.
(全国初中数学联赛试题)
3.如图,OA,OB是⊙O任意两条半径,过B作BE⊥OA于E,又作OP⊥AB于P,则定值OP2+EP2为_________.
4.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°
,F是DC的中点,AF的延长线交BC的延长线于点E,则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
(武汉市竞赛试题)
5.如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作⊥AB,,且=AP,=BP.连接,当点P从点A移动到点B时,的中点的位置()
A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动
C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动
(荆门市中考试题)
(第5题图)(第6题图)
6.如图,A,B是函数图象上的两点,点C,D,E,F分别在坐标轴上,且分别与点A,B,O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6,则长方形OEBF的面积是()
A.3B.6C.9D.12
(海南省竞赛试题))
7.
(1)经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A,B和C,D四点,得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下,PA,PB,PC,PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子,然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.
(2)已知⊙O的半径为一定值r,若点P是不在⊙O上的一个定点,请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点E,F.PE·
PF的值是否为定值?
为什么?
由此你发现了什么结论?
请你把这一结论用文字叙述出来.
8.在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,点O在原点,现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线于点M,BC边交x轴于点N.
(1)求OA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN与AC平行时,求正方形OABC旋转度数;
(3)设△MBN的周长为P,在正方形OABC旋转的过程中,P值是否有变化?
请证明你的结论.
(济宁市中考试题)
9.如图,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交直线AB于点E,BF⊥AB,交线段AD的延长线于点F.
(1)设弧AD是x°
的弧,若要点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是_______.
(2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段,并予证明.
(江苏省竞赛试题)
(第9题图)(第10题图)(第11题图)
10.如图,内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,设⊙O的半径为R.求证:
(1)是定值;
(2)是定值.
11.如图,设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点,求证:
的值为定值.
(克罗地亚数学奥林匹克试题)
B级
1.等腰△ABC的底边BC为定长2,H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下
改变位置时,面积S△ABC·
S△HBC的值保持不变,则S△ABC·
S△HBC=________.
2.已知A,B,C,D,E是反比例函数(x>0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分),则这五个橄榄形的面积总和是__________(用含π的代数式表示).
(福州市中考试题)
3.如图,将六边形ABCDEF沿直线GH折叠,使点A,B落在六边形ABCDEF的内部,记∠C+∠D+∠E+∠F=α,则下列结论一定正确的是()
A.∠1+∠2=900°
-2αB.∠1+∠2=1080°
-2α
C.∠1+∠2=720°
-αD.∠1+∠2=360°
-α
(第3题图)(第4题图)
4.如图,正△ABO的高等于⊙O的半径,⊙O在AB上滚动,切点为T,⊙O交AO,BO于M,N,则弧MTN()
A.在0°
到30°
变化B.在30°
到60°
变化
C.保持30°
不变D.保持60°
不变
5.如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A,B到MN的距离分别为h1,h2,则∣h1-h2∣等于()
A.5B.6C.7D.8
(黄石市中考试题)
6.如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°
,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.
(1)求点A的坐标(用m表示)
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F.试证明:
FC(AC+EC)为定值.
(株洲市中考试题)
7.如图,已知等边△ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A,B的点M.设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.
(湖北省选拔赛试题)
(第7题图)(第8题图)
8.如图,设H是等腰三角形ABC两条高的交点,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S△ABC·
S△HBC的值变小、变大,还是不变?
证明你的结论.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:
秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
(3)当时,△PQF的面积是否总是定值?
若是,求出此值;
若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形,请写出解答过程.
(黄冈市中考试题)
(第9题图)(第10题图)
10.已知抛物线C1:
,点F(1,1).
(1)求抛物线C1的顶点坐标;
(2)若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证:
.
(3)抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0<xP<1),连接PF,并延长交抛物线C1于点
Q(xQ,yQ),试判断是否成立?
请说明理由.
11.已知A,B是平面上的两个顶点,C是位于AB一侧的一个动点,分别以AC,BC为边在△ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求证:
不论C在直线AB同一侧的任何位置,EG的中点P的位置不变.
(四川省竞赛试题)
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