届广东省深圳市南山区高三上学期入学摸底考试文数学试题Word文件下载.docx
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【答案】D
【解析】由题意易知:
直线,∴又直线与直线异面直线,
故选:
D
5.若满足约束条件则的最大值是()
A.B.C.1D.
【解析】可行域如图,则直线过点A时取最大值1,选C.
点睛:
线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
6.命题“实数的平方都是正数”的否定是()
A.所有实数的平方都不是正数B.所有的实数的平方都是正数
C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数
【解析】命题“实数的平方都是正数”的否定是所有实数的平方不都是正数,即至少有一个实数的平方不是正数,选D.
命题的否定的注意点
(1)注意命题是全称命题还是存在性命题,是正确写出命题的否定的前提;
(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;
(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,且”的否定为“或”.
7.过点,且倾斜角为的直线与圆相切于点,且,则的面积是()
A.B.C.1D.2
【解析】在直角三角形AOB中,选B.
8.已知单位向量满足,则与的夹角的大小是()
【解析】,所以,选D.
9.执行如图所示的程序框图,输出的的值是()
A.B.0C.D.
【解析】第一次循环后:
,
第二次循环后:
第三次循环后:
第十三次循环后:
不符合,输出S,又周期为4,即四项和为零,故结果为
C
算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括顺序结构、条件结构、循环结构,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
10.设的内角的对边分为,.若是的中点,则()
【解析】
选B.
解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:
定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:
定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:
求结果.
11.若双曲线的左支与圆相交于两点,的右焦点为,且为正三角形,则双曲线的离心率是()
【解析】设的左焦点为由题意得,选A.
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12.某组合体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为1,则该多面体的体积是()
A.2B.C.D.
【解析】由题意可知:
该几何体下方为正方体,上方为两个等体积的三棱锥构成,其体积为:
故答案为:
三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知,则的大小关系是__________.(用“”连接)
【答案】
【解析】因为函数为单调递减函数,所以
14.设是圆上任意一点,定点,则的概率是__________.
【解析】由得,因此的概率是
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
15.函数的部分图象如图所示,其单调递减区间为,则__________.
【解析】因为单调递减区间为,所以,
16.若关于的方程有三个解,则实数的取值范围是__________.
【解析】设与相切时的切点为,则,又过点时
如图可知满足条件实数的取值范围是
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;
从图象的对称性,分析函数的奇偶性;
从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)当取得最小值时,求的值.
(1)
(2)或6.
【解析】试题分析:
(1)由,得:
,故;
(2)令,即,解得,所以当取最小值时,或6.
试题解析:
(1)因为,又,解得.
所以数列的公差.
所以.
(2)令,即,解得.
又,
所以当取最小值时,或6.
18.如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,是上的一点,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)证明:
平面.
(1)见解析
(2)见解析
(1)设.利用三角形中位线性质得,再利用线面平行判定定理得平面;
(2)先根据三角形相似得,再由底面得.而由菱形性质得.因此由线面垂直判定定理得平面,即得.最后再由线面垂直判定定理得平面.
(1)如图,连接,设.
∵底面为菱形,∴是的中点,
又为的中点,所以,
又因为平面,平面,
∴平面.
(2)因为底面为菱形,所以.
又底面,平面,所以.
因为,所以平面,平面,所以.
如图,连接.
由题可知,,
故,
从而.
所以,又,
所以,由此知.
又,所以平面.
19.某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失,故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.
(1)完成频率分布直方图;
(2)根据
(1)中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩(同一组中的数据用改组区间的中点值作代表);
(3)根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为,并假设,且取得每一个可能值的机会相等,在
(2)的条件下,求概率.
(1)见解析
(2)78(3)0.7
(1)根据频率等于频数除以总数,频率分布直方图小长方体的高等于对应概率除以组距,计算数值并完成频率分布直方图;
(2)根据组中值与对应概率乘积的和为平均数计算平均成绩(3)先根据平均数等于总分除以总人数得,再解不等式得,最后根据古典概型概率计算公式求概率
解:
(1)频率分布直方图如图:
(2),
即全班同学平均成绩可估计为78分.
(3),
故.
20.已知椭圆经过点,的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆上的两个动点,是否存在这样的直线,使其满足:
①直线的斜率与直线的斜率互为相反数;
②线段的中点在直线上.若存在,求出直线和的方程;
若不存在,请说明理由.
(1)
(2)
(1)利用条件布列关于的方程组,解之即可;
(2)设直线的方程为,代入,得.利用设而要求法,得到,同理,结合中点坐标公式得结果.
(1)由已知得,
解得,
∴椭圆的方程.
(2)设直线的方程为,代入,得
.(*)
设,,且是方程(*)的根,
∴,
用代替上式中的,可得,
故中点横坐标为,
∴直线的方程分别为,或,.
21.已知函数.
(1)求函数的极小值;
(2)若函数有两个零点,求证:
.
(1)极小值为
(2)见解析
(1)先求函数导数.再根据导函数是否变号进行分类讨论:
当时,导函数不变号,无极小值;
当时,导函数先负后正,有一个极小值
(2)先用分析法转化要证不等式:
因为.令,所以只要证,即证,利用导数易得为增函数,即得所以原命题成立.
(1).
当时,在上为增函数,函数无极小值;
当时,令,解得.
若,则单调递减;
若,则单调递增.
故函数的极小值为.
由题可知.
要证,即证,
不妨设,只需证,令,
即证,要证,只需证,令,
只需证,∵,
∴在内为增函数,故,∴成立.
所以原命题成立.
利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.
(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.与相交于两点.
(1)把和的方程化为直角坐标方程,并求点的直角坐标;
(2)若为上的动点,求的取值范围.
(1)或.
(2)
.....................
解得或.
(2)设,不妨设,
则
所以的取值范围为.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若对于任意的实数都有,求的取值范围.
(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集
(2)先转化不等式恒成立问题:
,再根据分段函数求最值方法求,即得的取值范围.
(1)解不等式,即,等价于:
或或
解得,或,或.
所以所求不等式的解集为或.
(2)
当时,.
又因为对于任意的实数都有,所以的取值范围是.
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