数学高考一轮复习《函数及其表示》Word下载.docx
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[解析] 由条件知f(3)=,
f(f(3))=f()=()2+1=.
(理)已知函数f(x)=则f(2016)等于( )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
[答案] B
[解析] f(2016)=f(2013)=f(2010)=……=f(0)=2×
0+1=1.
3.(2013·
银川模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)>
f
(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
[答案] A
[解析] 由题意知f
(1)=3,故原不等式可化为
或解之得-3<
1或x>
3,
∴原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选A.
4.(文)(2014·
长春市调研)下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( )
A.y=x2 B.y=-x3
C.y=-lg|x| D.y=2x
[解析] 四个函数中,是偶函数的有A,C,又y=x2在(0,+∞)内单调递增,故选C.
(理)(2014·
吉林市质检)下列函数中,在定义域内既是奇函数又为增函数的是( )
A.y=()x B.y=sinx
C.y=x3 D.y=x
[解析] A、D中的函数为非奇非偶函数,B中函数在定义域内既有增区间又有减区间,y=x3在定义域(-∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,故选C.
5.(文)函数f(x)=的值域是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
[解析] =2x-1-1>
-1,结合反比例函数的图象可知f(x)∈(-∞,-1)∪(0,+∞).
(理)若函数y=f(x)的值域是[,3],则函数F(x)=f(x)+的值域是( )
A.[,3] B.[2,]
C.[,] D.[3,]
[解析] 令t=f(x),则≤t≤3,由函数g(t)=t+在区间[,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g()=,g
(1)=2,g(3)=,可得值域为[2,],选B.
6.已知a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f是M到N的映射,f(x)=x,则a+b的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.±
1
[解析] ∵f(x)=x,∴f
(1)=1=a,若f()=1,则有=1,与集合元素的互异性矛盾,
∴f()=0,∴b=0,∴a+b=1.
二、填空题
7.(文)函数y=的定义域是________.
[答案] (-3,2)
[解析] 由6-x-x2>
0,得x2+x-6<
0,
即{x|-3<
2}.
福州模拟)函数f(x)=-的定义域为________.
[答案] (-∞,-1)∪(-1,1]
[解析] ∵要使函数f(x)=-有意义,
∴∴
∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
[失误与防范] 本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)=(x+1)-后求定义域,会误认为其定义域为(-∞,1].事实上,上述化简过程扩大了自变量x的取值范围.
防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换,否则应附加限制条件保持等价.
8.(文)如果函数f(x)=,那么f
(1)+f
(2)+…f(2016)+f()+f()+…+f()的值为________.
[答案] 0
[解析] 由于f(x)+f()=+=+=0,f
(1)=0,故该式值为0.
(理)规定记号“⊕”表示一种运算,且a⊕b=+a+b+1,其中a、b是正实数,已知1⊕k=4,则函数f(x)=k⊕x的值域是________.
[答案] (2,+∞)
[解析] 1⊕k=+k+2=4,解之得k=1,
∴f(x)=+x+2,由于“⊕”的运算对象是正实数,故x>
0,∴f(x)>
2.
9.已知f(x-2)=则f
(1)=________.
[答案] 10
[解析] f
(1)=f(3-2)=1+32=10.
三、解答题
10.(文)函数f(x)=x2+x-.
(1)若定义域为[0,3],求f(x)的值域;
(2)若f(x)的值域为[-,],且定义域为[a,b],求b-a的最大值.
[解析] ∵f(x)=(x+)2-,
∴对称轴为x=-.
(1)∵3≥x≥0>
-,
∴f(x)的值域为[f(0),f(3)],
即[-,].
(2)∵x=-时,f(x)=-是f(x)的最小值,
∴x=-∈[a,b],令x2+x-=,
得x1=-,x2=,
根据f(x)的图象知当a=-,b=时,b-a取最大值-(-)=.
(理)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x2-2)的值域.
[解析]
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
又f(0)=0,∴c=0,即f(x)=ax2+bx.
又f(x+1)=f(x)+x+1.
∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.
∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
∴解得∴f(x)=x2+x.
(2)由
(1)知y=f(x2-2)=(x2-2)2+(x2-2)
=(x4-3x2+2)=(x2-)2-,
当x2=时,y取最小值-.
∴函数y=f(x2-2)的值域为[-,+∞).
11.(文)函数f(x)=若f
(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )
A.1 B.1,-
C.- D.1,
[解析] f
(1)=1,
当a≥0时,f(a)=ea-1,∴1+ea-1=2,
∴a=1,
当-1<
a<
0时,f(a)=sin(πa2),
∴1+sin(πa2)=2,
∴πa2=+2kπ(k∈Z),
∵-1<
0,∴a=-,故选B.
(理)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-∞,3)
C.[,3) D.(1,3)
[解析] 解法1:
由f(x)在R上是增函数,
∴f(x)在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知a>
1,①
又由f(x)在(-∞,1)上单增,∴3-a>
0,∴a<
3,②
又由于f(x)在R上是增函数,为了满足单调区间的定义,f(x)在(-∞,1]上的最大值3-5a要小于等于f(x)在[1,+∞)上的最小值0,才能保证单调区间的要求,
∴3-5a≤0,即a≥,③
由①②③可得1<
3.
解法2:
令a分别等于、0、1,即可排除A、B、C,故选D.
[点评] f(x)在R上是增函数,a的取值不仅要保证f(x)在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是增函数,还要保证x1<
1,x2≥1时,有f(x1)<
f(x2).
12.(2014·
乌鲁木齐地区诊断)若a=,b=,c=,则( )
A.a<
b<
c B.c<
b
C.c<
a D.b<
c
-==<
∴a<
0,∴c<
a,
∴c<
b.
设f(x)=(x>
1),则f′(x)=,当x>
e时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,∴f(3)>
f(4)>
f(5),
∴>
>
,∴>
,∴b>
a>
c.
13.(2014·
辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象( )
A.y=2x-x2-1 B.y=
C.y=(x2-2x)ex D.y=
[解析] 由图象可知,x<
0时,函数值恒大于0,排除A、B、D,故选C.
14.(2014·
吉林省九校联合体摸底)已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<
0恒成立,则当x>
3时,x2+y2的取值范围是( )
A.(3,7) B.(9,25)
C.(13,49) D.(9,49)
[解析] ∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)是奇函数,又∵y=f(x)是增函数,
∴不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<
0⇔f(x2-6x+21)<
f(8y-y2)⇔x2-6x+21-8y+y2<
0⇔(x-3)2+(y-4)2<
4.
即点(x,y)是以(3,4)为圆心,以2为半径的圆内的点,如图
当x>
3时,点(x,y)是右半圆内部分,x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,∵A(3,2),C(3,4),
∴|OA|2=13,|OC|2=25,∴|OB|=7,∴13<
x2+y2<
49.
15.(文)函数f(x)=若f(x0)=1,则x0的值为________.
[答案] -1或1
[解析] 当x0≤0时,f(x0)=2-x0-1,∵f(x0)=1,
∴2-x0-1=1,∴2-x0=2,∴x0=-1;
当x0>
0时,f(x0)=,∵f(x0)=1,∴=1,∴x0=1.
综上可得x0的值为-1或1.
四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有________.
①函数f(x)在R上有最小值;
②当b>
0时,函数在R上是单调增函数;
③函数f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④当b<
0时,方程f(x)=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>
4|c|;
⑤方程f(x)=0可能有四个不同实数根.
[答案] ②③④
[解析] f(x)=
取b=0知,①⑤错;
容易判断②,③正确;
0时,方程f(x)=0有三个不同实数根,等价于c-<
0且c+>
0,∴b2>
4c且b2>
-4c,∴b2>
4|c|,故填②、③、④.
16.(文)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:
元)与日产量x(单位:
t)满足函数关系式C=10000+20x,每日的销售额R(单位:
元)与日产量x的函数关系式为R=
已知每日的利润y=R-C,且当x=30时,y=-100.
(1)求a的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.
[解析]
(1)∵当x=30时,y=-100,
∴-100=-×
303+a×
302+270×
30-10000,
∴a=3.
(2)当0<
120时,y=-x3+3x2+270x-10000.
令y′=-x2+6x+270=0,
可得:
x1=90,x2=-30(舍去),
所以当x∈(0,90)时,原函数是增函数,当x∈(90,120)时,原函数是减函数.
∴当x=90时,y取得极大值14300.
当x≥
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