高中数学必修一第1章《集合与函数概念》导学案设计含答案131 第1课时Word文档格式.docx
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(2)(-∞,1),(1,+∞)
解析
(1)观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
(2)y=的图象可由函数y=的图象向右平移一个单位得到,如图所示,其单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞).
例2 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.
解 y=
即y=
函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为[-1,0],[1,+∞).
反思与感悟 1.作出函数的图象,利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确.
2.函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.
3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.
跟踪训练1 作出函数f(x)= 的图象,并指出函数的单调区间.
解 f(x)= 的图象如图所示.
由图象可知:
函数的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2];
单调递增区间为[2,+∞).
题型二 函数单调性的判定与证明
例3 求证:
函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.
证明 设任意的x1,x2∈(0,1),且x1<
x2,
所以f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)
=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-)
=.
因为0<
x1<
x2<
1,
所以x1x2-1<
0,x1x2>
0,x2-x1>
0,
所以<
0,所以f(x2)<
f(x1).
所以函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.
反思与感悟 利用定义证明函数单调性的步骤如下:
(1)取值:
设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<
x2;
(2)作差变形:
作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子;
(3)定号:
确定f(x1)-f(x2)的符号;
(4)结论:
根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
跟踪训练2 已知函数f(x)=,证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
证明 任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)=-=.
∵x2>x1>-1,
∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
题型三 函数单调性的简单应用
例4 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)=x2-2(1-a)x+2
=[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,
∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].
∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,
∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.
反思与感悟 1.二次函数是常见函数,遇到二次函数后就配方找对称轴,画出图象,会给研究问题带来很大的方便.
2.已知函数单调性求参数的取值范围,要注意数形结合,采用逆向思维方法.
跟踪训练3 函数f(x)=-x2+2ax+1在(-∞,2)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
答案 a≥2
解析 f(x)=-x2+2ax+1=-(x-a)2+1+a2,抛物线开口向下,对称轴x=a≥2时,f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以实数a的取值范围是a≥2.
忽视函数定义域致误
例5 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<
f(2a-1),则实数a的取值范围为________.
错解 ∵f(x)在(-1,1)上是减函数,
且f(1-a)<
f(2a-1),
∴1-a>
2a-1,即a<
.
∴a的取值范围为(-∞,).
正解 由题意可知解得0<
a<
1.①
又f(x)在(-1,1)上是减函数,
.②
由①②可知,0<
,
即所求a的取值范围是0<
答案 (0,)
易错警示
错误原因
纠错心得
忽视函数定义域.
解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.具体做法是:
(1)若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2∈D,且f(x1)<
f(x2),则有x1<
(2)若函数y=f(x)在区间D上是减函数,对任意x1,x2∈D,且f(x1)<
f(x2),则有x1>
x2,但需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
跟踪训练4 已知f(x)是定义在[-1,1]上的单调递增函数,若f(a)<
f(2-3a),则a的取值范围是________.
答案 [,)
解析 由题意得得
即≤a<
∴a的取值范围是≤a<
1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>
0,则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.f(x)是R上的增函数
C.函数f(x)先减后增
D.函数f(x)是R上的减函数
答案 B
解析 由>
0知,当a>
b时,f(a)>
f(b);
当a<
b时,f(a)<
f(b),
所以函数f(x)是R上的增函数.
2.函数y=x2-6x的减区间是( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[3,+∞)D.(-∞,3]
答案 D
解析 y=x2-6x=(x-3)2-9,故减区间为(-∞,3].
3.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=D.y=-x2+4
答案 A
解析 (排除法)函数y=3-x在R上为减函数,函数y=在(0,+∞)上是减函数,函数y=-x2+4在[0,+∞)上是减函数.
4.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>
f(2a)B.f(a2)<
f(a)
C.f(a+3)>
f(a-2)D.f(6)>
答案 C
解析 因为函数f(x)是增函数,且a+3>
a-2,
所以f(a+3)>
f(a-2).
5.函数y=x|x-1|的单调递增区间是__________________________________.
答案 (-∞,],[1,+∞)
解析 画出函数y=x|x-1|=的图象,如图,可得函数的单调递增区间为(-∞,],[1,+∞).
1.对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1、x2有以下几个特征:
一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;
二是有大小,通常规定x1<
三是属于同一个单调区间.
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推,即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<
f(x2)⇔x1<
x2(x1>
x2).
(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间,则此函数在这个区间上不存在单调性.
2.单调性的证明方法
证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤:
(1)设元:
设x1、x2∈D且x1<
(2)作差:
将函数值f(x1)与f(x2)作差;
(3)变形:
将上述差式(因式分解、配方等)变形;
(4)判号:
对上述变形的结果的正、负加以判断;
(5)定论:
对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点,变形一定要到位,即变形到能简单明了的判断符号的形式为止,切忌变形不到位就定号.
3.单调性的判断方法
(1)定义法:
利用定义严格判断.
(2)图象法:
作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调区间.
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断:
“增+增=增”,“减+减=减”,“增-减=增”,“减-增=减”.
一、选择题
1.下列说法中,正确的有( )
①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-在定义域上是增函数;
④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0个B.1个C.2个D.3个
解析 当x1<x2时,x1-x2<0,由>0知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),①正确;
②③④均不正确.
2.若函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是严格单调减函数,则有( )
A.a≥B.a≤C.a>
D.a<
解析 函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是严格单调减函数,则2a-1<
0,即a<
.故选D.
3.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<
0,则( )
A.f(3)<
f
(2)<
f
(1)B.f
(1)<
f(3)
C.f
(2)<
f
(1)<
f(3)D.f(3)<
f
(2)
解析 对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<
0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,则f(x)在R上是减函数.又3>
2>
1,则f(3)<
f
(1).故选A.
4.若函数f(x)=x2-2ax+5在(-∞,3)上单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥3B.a>
3
C.a≤3D.a<
-3
解析 方法一 ∵f(x)=x2-2ax+5的单调减区间为(-∞,a),
又f(x)在(-∞,3)上单调递减,
∴(-∞,3)⊆(-∞,a),
∴a≥3.故答案为A.
方法二 ∵f(x)在(-∞,3)上单调递减,又f(x)的对称轴
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