高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案Word下载.docx
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a1&
gt;
0,q&
1或a1&
lt;
00&
q&
1&
#8660;
{an}是________数列;
0,0&
0q&
q=1&
{an}是____数列;
0&
{an}是________数列.
.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=a1&
#61480;
1-qn&
#61481;
1-q=a1&
qn-1&
q-1=a1qnq-1-a1q-1
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为______.
自我检测
1.“b=a”是“a、b、成等比数列”的( )
A.充分不必要条
B.必要不充分条
.充要条
D.既不充分也不必要条
2.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数a的值是( )
A.3B.1.0D.-1
3.(2011&
温州月考)设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*),则f(n)等于( )
A27(8n-1)B27(8n+1-1)
27(8n+2-1)D27(8n+3-1)
4.(2011&
湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a-2,a+2,a+8,则an等于( )
A.8&
32nB.8&
23n
.8&
32n-1D.8&
23n-1
.设{an}是公比为q的等比数列,|q|&
1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-3,-23,19,37,82}中,则6q=________探究点一 等比数列的基本量运算
例1 已知正项等比数列{an}中,a1a+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a+a4a6=36,求数列{an}的通项an和前n项和Sn
变式迁移1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2&
an-1=128,Sn=126,求n和q
探究点二 等比数列的判定
例2 (2011&
岳阳月考)已知数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+,n∈N*
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式以及Sn
变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求证:
数列{Sn+2}是等比数列.
探究点三 等比数列性质的应用
例3 (2011&
湛江月考)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a=8,且1a1+1a2+1a3+1a4+1a=2,求a3
变式迁移3
(1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b+b9的值;
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a1a16=8,求a41a42a43a44
分类讨论思想与整体思想的应用
例 (12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80,它的前2n项和为660,且前n项中数值最大的项为4,求此数列的第2n项.
【答题模板】
解 设数列{an}的公比为q,
若q=1,则Sn=na1,S2n=2na1=2Sn
∵S2n=660≠2Sn=160,∴q≠1,[2分]
由题意得a1&
1-q=80, ①a1&
1-q2n&
1-q=660②[4分]
将①整体代入②得80(1+qn)=660,
∴qn=81[6分]
将qn=81代入①得a1(1-81)=80(1-q),
∴a1=q-1,由a1&
0,得q&
1,
∴数列{an}为递增数列.[8分]
∴an=a1qn-1=a1q&
qn=81&
a1q=4
∴a1q=23[10分]
与a1=q-1联立可得a1=2,q=3,
∴a2n=2×
32n-1(n∈N*).[12分]
【突破思维障碍】
(1)分类讨论的思想:
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q=1和q≠1两种情况讨论;
②研究等比数列的单调性时应进行讨论:
当a1&
0,0&
1时为递增数列;
1时为递减数列;
当q&
0时为摆动数列;
当q=1时为常数列.
(2)函数的思想:
等比数列的通项公式an=a1qn-1=a1q&
qn(q&
0且q≠1)常和指数函数相联系.(3)整体思想:
应用等比数列前n项和时,常把qn,a11-q当成整体求解.
本题条前n项中数值最大的项为4的利用是解决本题的关键,同时将qn和a1&
1-q的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应灵活运用.1.等比数列的通项公式、前n项公式分别为an=a1qn-1,Sn=na1, q=1,a1&
1-q,q≠1
2.等比数列的判定方法:
(1)定义法:
即证明an+1an=q(q≠0,n∈N*)(q是与n值无关的常数).
(2)中项法:
证明一个数列满足a2n+1=an&
an+2(n∈N*且an&
an+1&
an+2≠0).
3.等比数列的性质:
(1)an=a&
qn-(n,∈N*);
(2)若{an}为等比数列,且+l=+n(,l,,n∈N*),则a&
al=a&
an;
(3)设公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn
4.在利用等比数列前n项和公式时,一定要对公比q=1或q≠1作出判断;
计算过程中要注意整体代入的思想方法.
.等差数列与等比数列的关系是:
(1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列;
(2)若{an}是等比数列,且an&
0,则{lgan}构成等差数列.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2010&
辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S等于( )
A12B314334D172
2.(2010&
浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a=0,则SS2等于( )
A.-11B.-8.D.11
3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和S3=21,则a3+a4+a等于( )
A.33B.72.84D.189
4.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T2中也是常数的项是( )
A.T10B.T13.T17D.T2
.(2011&
佛模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则S10S等于( )
A.-3B..-31D.33
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a=16,则数列{an}前7项的和为________.
7.(2011&
平顶月考)在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________
8.(2010&
福建)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2010&
陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
(2)求数列{2an}的前n项和Sn
10.(12分)(2011&
廊坊模拟)已知数列{lg2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a2=
(1)求证:
数列{an-1}是等比数列;
(2)求1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an的值.
11.(14分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d&
0,且第2项、第项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{n}对n∈N*均有1b1+2b2+…+nbn=an+1成立,求1+2+3+…+2010
答案自主梳理
1.公比 q 2a1&
qn-1 4
(1)qn-
(2)a&
an
(4)递增 递减 常 摆动 6qn
自我检测
1.D 2B 3B 4 -9
堂活动区
例1 解题导引
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解;
(2)本例可将所有项都用a1和q表示,转化为关于a1和q的方程组求解;
也可利用等比数列的性质转化,两种方法目的都是消元转化.
解 方法一 由已知得:
a21q4+2a21q6+a21q8=100,a21q4-2a21q6+a21q8=36①②
①-②,得4a21q6=64,∴a21q6=16③
代入①,得16q2+2×
16+16q2=100
解得q2=4或q2=14
又数列{an}为正项数列,∴q=2或12
当q=2时,可得a1=12,
∴an=12×
2n-1=2n-2,
Sn=12(1-2n)1-2=2n-1-12;
当q=12时,可得a1=32
∴an=32×
12n-1=26-n
Sn=321-12n1-12=64-26-n
方法二 ∵a1a=a2a4=a23,a2a6=a3a,a3a7=a4a6=a2,
由a1a+2a2a6+a3a7=100,a2
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