拉格朗日插值法文档格式.docx

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S＝０;

　Fｏrk=1：

ｎ

　　t=１;

　for（ｊ＝1:

n）

ｉfj~=k

ｔ＝t*（ｘi－yi）/x（ｋ）-x（ｊ）;

　end

　　end

Ｓ＝t*ｙ（k）+s;

eｎd;

yi=s；

3、例题

１）计算

x

１00

１2１

144

y

10

11

12

解：

Ｌ2（ｘ）=+

　+　　　　

=　+　

＋

L２（115）=＋

+　

≈10．7228　

在Mａtlab窗口输入

>

＞x=［1０01211４４];

y=[１0　11１２];

y2=ｌagｒａgｅ（x,ｙ,115）;

输出ｙ2＝10.72２8

2）计算

0.5

0．707

０.866

在Maｔlａｂ窗口输入

＞x=［　];

y=[０．50．7０7０.86６];

y2=laｇragｅ（x,y,2PI/９）；

输出ｙ2=0.６3８0

均差与牛顿插值多项式

1、1）定义称为函数关于的一阶均差，称为的二阶均差。

一般的，称为的k阶均差（均差也称为差商）。

　２）牛顿插值公式推导

根据均差定义，把x看成［ａ,b]上一点,则有

把后一式带入前一式可得

最后一项中,均差部分含有x,为余项部分,记为

而前面n＋1项中,均差部分都不含有x，因而前面n＋1项是关于x的n次多项式

这就是牛顿插值公式。

于是上式记。

2、Mａtlab文件Nｅwｔｏnint．m

function

n=ｌenｇｔｈ（x）

D=Zeros（n.n）;

D（:

１）＝

fｏrk＝1:

n-1；

fｏｒｉ=1:

n-k

Ｄ（i＋k,ｋ+1）=（D（i+ｋ,k）-D（i+k+1，ｋ））／（x（ｉ＋k）-x（ｉ））;

ｅnｄ

end

fori=1:

n;

ｚ＝１

ｆoｒ　k=１:

i-１；

z=z*（）；

3、例题

ｘ

1

-1

2

-3

4

求二次插值

解:

x　y　　　　一次差商　　二次差商

　　　-1　-3

　１　0　　　　　

　24　　　４

　N（x）=-３+3/２（x+1）+１/６（x+1）（x-1）

在Matlab窗口输入

x=［-1，1,2］;

Y＝[-3　04]；

曲线拟合的最小二乘法

1、Matlａｂ文件polyｆit.m

fuｎctｉｏｎp＝polyfｉt（x,y,n）

A=Zeｒoｓ（ｎ+1,ｎ+1）

fort=0:

n

ｆｏｒｊ=０：

nA（ｉ＋１,j＋1）=sum（x.^（i+j））

b（ｉ+１）=sum（^I,*y）

eｎd

a=Ａ\b’;

p=ｆliｐlｒ（ａ’）

2、例题

设数据由表给出，表中第４行为,可以看出数学模型为，用最小二乘法确定ａ和b。

i

3

1.00

5.１0

1.62９

１.25

5．７9

1．7５6

1.5０

6.53

1.87６

1.75

7.45

2．008

２.00

8．46

2.135

根据给定数据描图可确定拟合曲线方程为,它不是线性形式。

两边取对数得，若令,则得。

为确定Ａ，b,先将转化为，数据见上表。

根据最小二乘法,取,得

故有法方程

5A+7.50b＝9．40４

７.5０A＋１1.87５b=１4.422

解得Ａ=１．122,b＝0.505,a=

于是得最小二乘拟合曲线为

在Matlａb文件输入

x=1：

０.2５:

y=[1.6２9１.75６　1.8７６2．0082.135]

polyfit（ｘ,y,１）

ans　０.50５１．122