高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义第3章+第5讲简单的三角恒等变换Word文档格式.docx
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1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( )
(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.( )
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(5)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.( )
答案
(1)√
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.[2018·
江西九江模拟]计算sin-cos的值为( )
A.0B.-C.2D.
答案 B
解析 sin-cos=2=2sin=2sin=-.故选B.
3.[2017·
山东高考]已知cosx=,则cos2x=( )
A.-B.C.-D.
答案 D
解析 cos2x=2cos2x-1=2×
2-1=.故选D.
4.[2018·
山西四校联考]已知sin=,-<α<0,则cos的值是( )
A.B.C.-D.1
答案 C
解析 由已知得cosα=,sinα=-,cos=cosα+sinα=-.
5.[2017·
江苏高考]若tan=,则tanα=________.
答案
解析 ∵tan=
==,
∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=.
tanα=tan
===.
6.[2017·
全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为________.
解析 f(x)=2cosx+sinx=,
设sinα=,cosα=,则f(x)=sin(x+α),
∴函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.
板块二 典例探究·
考向突破
考向 三角函数的化简求值
例 1
(1)[2018·
衡水中学二调]-=( )
A.4B.2
C.-2D.-4
解析 -=-
====-4.
(2)4cos50°
-tan40°
=( )
A.B.
C.D.2-1
解析 4cos50°
=
==
=.
触类旁通
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角:
善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数.
(2)异名化同名:
统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.
(3)异次化同次:
统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次.
【变式训练1】
(1)[2018·
九江模拟]化简等于( )
A.-2B.-C.-1D.1
解析 ===-1.
(2)计算:
tan20°
+4sin20°
=________.
解析 原式=+4sin20°
==.
考向 三角函数的条件求值
命题角度1 给值求值问题
例 2
(1)[2016·
全国卷Ⅱ]若cos=,则sin2α=( )
A.B.C.-D.-
解析 解法一:
sin2α=cos=cos=2cos2-1=2×
2-1=-.故选D.
解法二:
cos=(cosα+sinα)=⇒cosα+sinα=⇒1+sin2α=,∴sin2α=-.故选D.
(2)[2017·
全国卷Ⅰ]已知α∈,tanα=2,则cos=________.
解析 cos=cosαcos+sinαsin
=(cosα+sinα).
又由α∈,tanα=2,知sinα=,cosα=,
∴cos=×
命题角度2 给值求角问题
例 3
(1)[2018·
江苏徐州质检]已知cosα=,cos(α-β)=,且0<
β<
α<
,求β.
解 ∵0<
,∴0<
α-β<
.
又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)==.
∵cosα=,0<
,∴sinα=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×
+×
∵0<
,∴β=.
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.
解 ∵tanα=tan[(α-β)+β]===>
0,∴0<
又∵tan2α===>
0,
∴0<
2α<
,
∴tan(2α-β)===1.
∵tanβ=-<
0,∴<
π,-π<
2α-β<
∴2α-β=-.
三角函数的条件求值技巧
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;
若角的范围是,选正、余弦皆可;
若角的范围是(0,π),选余弦较好;
若角的范围为,选正弦较好.
考向 三角恒等变换的综合应用
例 4 [2017·
浙江高考]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解
(1)由sin=,cos=-,
得f=2-2-2×
×
所以f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+t或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+t的形式,再进行图象变换.
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤:
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式;
②利用公式T=(ω>
0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的单调区间.
【变式训练2】 已知函数f(x)=cos2x+cos2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
解
(1)f(x)=cos2x+cos2
=+
=sin2x+cos2x+1
=sin+1,
则函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
∵f=,f=+1,f=1+,
∴f(x)min=,f(x)max=+1.
核心规律
重视三角函数的“三变”:
“三变”是指“变角、变名、变式”;
变角:
对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;
变名:
尽可能减少函数名称;
变式:
对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
满分策略
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.
2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
板块三 启智培优·
破译高考
规范答题系列2——逆向思维构造辅助角公式解题
[2017·
北京高考]已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.
(2)求证:
当x∈时,f(x)≥-.
解题视点
(1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式,
(2)证明f(x)≥-时注意x的取值范围.
解
(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)证明:
因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
所以sin≥sin=-,
所以当x∈时,f(x)≥-.
[答题模板] 第一步:
将f(x)化为asinx+bcosx的形式;
第二步:
构造f(x)=
;
第三步:
和差公式逆用f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
第四步:
利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;
第五步:
反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.
①化简时公式的准确应用是灵魂;
②研究三角函数性质时注意整体思想的应用.
跟踪训练
已知函数f(x)=2sinxsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
解
(1)f(x)=2sinx=×
+sin2x=sin+.所以函数f(x)的最小正周期为T=π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)当x∈时,2x-∈,sin∈,f(x)∈.
故f(x)的值域为.
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1.[2017·
全国卷Ⅲ]已知sinα-cosα=,则sin2α=( )
A.-B.-C.D.
答案 A
解析 ∵sinα-cosα=,∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,∴sin2α=-.故选A.
2.[2017·
山东高考]函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为
( )
A.B.C.πD.2π
解析 y=sin2x+cos2x=2sin,T==π.故选C.
3.[2018·
武汉模拟]计算tan15°
+的值为( )
A.B.2C.4D.2
解析 tan15°
+=+===4.故选C.
重庆质检]计算sin20°
cos110°
+cos160°
sin70°
的值为( )
A.0B.1C.-1D.
解析 原式=sin20°
cos(180°
-70°
)+cos(180°
-20°
)·
=-sin20°
cos70°
-cos20°
=-(sin20°
·
+cos20°
)=-sin90°
=-1.故选C.
5.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于( )
A.B.C.D.
解析 由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),
∴=-,即tan(A+B)=-.
又ta
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