三角形全等之截长补短讲义及答案docx.docx
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三角形全等之截长补短(讲义)
>课前预习
1.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)已知线段d,b(Q>b),作一条线段,使它等于G+b.
Iai
b
(2)已知线段a,b5>b),作一条线段,使它等于a-b・
I°I
h.
2.想一想,证一证
已知:
如图,射线BM平分ZABC,点P为射线上一点,PD丄BC于点DBD二AB+CD,过点P作PE丄BA于点E.
求证:
Afi4E^APCD・
>知识点睛
截长补短:
题目中出现时,考虑截长补短;截长补短的作
用是
>精讲精练
1.已知:
如图,在AABC中,Z1=Z2,ZB=2ZC.求证:
AC=AB+BD.
2.如图,在四边形ABCD屮,ZA=ZB=90°,点E为AB边上一点,且DE平分ZADC,CE平分乙BCD・
求证:
CD=AD+BC・
3.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,ZB=ZD=ZBAD=90°fE,F分别为CD,BC边上的点,且ZEAF=45。
,连接EF・
求证:
EF=BF+DE.
4.已知:
如图,在△ABC屮,ZABC=60°,△ABC的角平分线ADfCE交于点
0・
求证:
AC=AE+CD.
C
5.已知:
如图,在AABC中,ZA=90°,AB=AC,平分ZABC,CE丄BD交BD的延长线于点E.
求证:
CE=-BD.
A
【参考答案】
>课前预习
1.略
2.证明:
如图
•:
BM平分ZABC,PD丄BC,PEA.BA
:
.PE=PD,ZPEB=ZPDB=ZPDC=90°在RtAPBE和RtAPBD中,
[PE=PD
\PB=PB
・".RtAPBE^RtAPBO(HL)
:
.BE=BD
・・•BE二AB+AE
BD二AB+CD
:
.AE=CD
在和△PCD中
AE=CD
<ZPEA=ZPDC
PE=PD
:
.'PAEQ'PCD(SAS)
>知识点睛
线段间的和差倍分;
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
>精讲精练
1.补短法:
证明:
如图,延长AB到E,使BE=BD,连接DE・
AZE=Z3
TZABC是的一个外角
•••ZABC=ZE+Z3
:
.ZABC=2ZE
TZABC=2ZC
A
1
B/
//
:
.ZE=ZC
在△人。
£和厶ADC屮
ZE=ZC
Z1=Z2
AD=AD
:
./\ADE^/\ADC(AAS)
:
.AE=AC
:
.AC=AB+BE
=AB+BD
截长法:
证明:
如图,在AC上截取AF=AB,连接DF・在△ABD和中人
严肚12
AD=AD : .HABD9HAFD(SAS)BD : .ZB=ZAFD,BD=FD ZB=2ZC : .ZAFD=2ZC ・・・ZAFD是ADFC的一个外角 ・•・ZAFD=ZC+ZFDC : .ZFDC=ZC ・•・DF=FC : .BD=FC : .AC=AF+FC =AB+BD 2. 证明: 如图,在DC上截取DF=DA,连接EF・ C TDE平分ZADC,CE平分上BCD AZ1=Z2,Z3=Z4 在和中 AD=FD DE=DE: .(SAS) ・•・ZA=ZDFE JZA=ZB=90° ・・・ZDFE=ZCFE=ZB=90°在△CFE和ACBE中 ZCFE=ZB CE=CE/.ACEF^ACBE(AAS) ・・・CF=CB : .CD=DF+FC =AD+BC 3.证明: 如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AG・ ・・・ZABC=ZD=90° : .ZABG=ZD=90° 在△ABG和中 AB=AD BG=DE」 : .△ABG竺/\ADE(SAS)G AZ3=Z2,AG=AE IZBAD=Z\+Z2+ZEAF =90° ZEAF=45。 AZ1+Z2=45° AZ1+Z3=45° 即: ZGAF=ZEAF=45° 在和AGAF中 AE=AG AF=AF AAEAF^AGAF(SAS) ・•・EF=GF : .EF=B®BF二BF+DE 4.证明: 如图,在AC上截取AF二AE,连接OF. TADCE分别是的角平分线 B AZ1=Z2,Z3=Z4在△AEO和△AFO中 AE=AF AO=AO : .(SAS) AZ5=Z6 在中,ZB二60。 •••Z1+Z2+Z3+Z4二120。 AZ2+Z3=60° VZ5是厶AOC的一个外角 AZ5=Z2+Z3=60° AZ8=Z5=60° Z6=Z5=60° Z7=180°-Z5-Z6=60° Z.Z7=Z8 在ACFO和△CDO屮 Z3=Z4 Z7=Z8 /.ACFO^ACPO(ASA) ・•・CD=CF : .AC=AF+CF =AE+CD 5.证明: 如图,延长CE交84的延长线于F. •・・CE_LBD AZBEC=ZBEF=90° •・・3D平分ZABCZ •SC尹 VZBAC=90°,ZBEC=90。 ・・・Z1+Z4二90。 ,Z3+Z5二90。 •・•Z4二Z5 ・・・Z1=Z3 ・・•ZBAC=90° : .ZBAD=ZCAF=90° 在△BAD和△C4F中 Z1=Z3 ABAD=ZCAF •••△BAD竺△CAF(ASA) : .BD=CF VCE=-CF 2 ,.+
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