高考文科数学复习第一轮极坐标与参数方程学生版2Word格式.docx
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1.极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线,为极点,为极轴,选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向),这就构成了极坐标系。
2.极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径,与轴的夹角称为极角,有序实数对
就叫做点的极坐标。
(1)一般情况下,不特别加以说明时表示非负数;
当时表示极点;
当时,点的位置这样确定:
作射线,
使,在的反向延长线上取一点,使得,点即为所求的点。
(2)点与点()所表示的是同一个点,即角与的终边是相同的。
综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应,
即,,均表示同一个点.
3.极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(①极点与原点重合;
②极轴与轴正半轴重合;
③长度单位相同),平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系:
直角坐标化极坐标:
;
极坐标化直角坐标:
.
此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.
4.直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为的直线:
或写成及.
(2)过垂直于极轴的直线:
5.圆的极坐标方程:
(1)以极点为圆心,为半径的圆:
(2)若,,以为直径的圆:
知识点二:
柱坐标系与球坐标系:
1.柱坐标系的定义:
空间点与柱坐标之间的变换公式:
2.球坐标系的定义:
空间点与球坐标之间的变换公式:
知识点三:
参数方程
1.概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数:
,并且对于的每一个允许值,方程所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系间的关系的变数叫做参变数(简称参数).
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。
知识点四:
常见曲线的参数方程
1.直线的参数方程
(1)经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为:
(为参数);
其中参数的几何意义:
,有,即表示直线上任一点M到定点的距离。
(当在上方时,,在下方时,)。
(2)过定点,且其斜率为的直线的参数方程为:
(为参数,为为常数,);
其中的几何意义为:
若是直线上一点,则。
2.圆的参数方程
(1)已知圆心为,半径为的圆的参数方程为:
(是参数,);
特别地当圆心在原点时,其参数方程为(是参数)。
(2)参数的几何意义为:
由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3.椭圆的参数方程
(1)椭圆()的参数方程(为参数)。
(2)参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中,点对应的角为(过作轴,
交大圆即以为直径的圆于),切不可认为是。
(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成,
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4.双曲线的参数方程
双曲线(,)的参数方程为(为参数)。
5.抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为(是参数)。
参数的几何意义为:
抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数,即。
规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:
代入消法;
加减消参;
平方和(差)消参法;
乘法消参法;
比值消参法;
利用恒等式消参法;
混合消参法等.
2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键:
一是适当选取参数;
二是确保互化前后方程的等价性,注意方程中的参数的变化范
【课前演练】
一、选择题
1.已知集合,,则=
A.{x|-1≤x<1}B.{x|x>
1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x≥-1}
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=
A.-2B.C.D.2
3.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是
A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数
C.单凋递增的偶函数D.单涮递增的奇函数
4.若向量满足,与的夹角为,则
A.B.C.D.2
5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。
下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是
二、填空题
11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.
12.函数f(x)=xlnx(x>
0)的单调递增区间是.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=;
若它的第k项满足5<
ak<
8,则k=
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直线l的距离为.
15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=.
【经典例题精析】
类型二:
参数方程与普通方程互化
4.把参数方程化为普通方程
(1) (,为参数);
(2)(,为参数);
(3) (,为参数);
(4)(为参数).
思路点拨:
(1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参;
(2)利用三角恒等式进行消参;
(3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法;
或把用表示,反解出后再代入另一表达式即可消参;
(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把换成而已,因而消参方法依旧,但需要注意、的范围。
总结升华:
1.消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三:
【变式1】化参数方程为普通方程。
(1)(t为参数);
(2)(t为参数).
【变式2】
(1)圆的半径为_________;
(2)参数方程(表示的曲线为( )。
A、双曲线一支,且过点 B、抛物线的一部分,且过点
C、双曲线一支,且过点 D、抛物线的一部分,且过点
【变式3】
(1)直线:
(t为参数)的倾斜角为( )。
A、 B、 C、 D、
(2)为锐角,直线的倾斜角( )。
A、 B、 C、 D、
5.已知曲线的参数方程(、为常数)。
(1)当为常数(),为参数()时,说明曲线的类型;
(2)当为常数且,为参数时,说明曲线的类型。
通过消参,化为普通方程,再做判断。
从本例可以看出:
某曲线的参数方程形式完全相同,但选定不同的字母为参数,则表示的意义也不相同,表示不同曲线。
因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选定的字母参数。
【变式】已知圆锥曲线方程为。
(1)若为参数,为常数,求此曲线的焦点到准线距离。
(2)若为参数,为常数,求此曲线的离心率。
【课堂检测】
选择题
30.椭圆的两个焦点坐标是()。
A.(-3,5),(-3,-3)B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)D.(7,-1),(-1,-1)
六、1.若直线的参数方程为,则直线的斜率为()
A.B.
C.D.
2.下列在曲线上的点是()
A.B.C.D.
3.将参数方程化为普通方程为()
6.极坐标方程表示的曲线为()
A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆
七、1.直线的参数方程为,上的点对应的参数是,则点与之间的距离是()
2.参数方程为表示的曲线是()
A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线
3.直线和圆交于两点,
则的中点坐标为()
5.与参数方程为等价的普通方程为()
A.B.
C.D.
6.直线被圆所截得的弦长为()
八、1.把方程化为以参数的参数方程是()
2.曲线与坐标轴的交点是()
3.直线被圆截得的弦长为()
4.若点在以点为焦点的抛物线上,
则等于()
6.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为()
填空题
参、5.把参数方程(α为参数)化为普通方程,结果是。
六、1.直线的斜率为______________________。
2.参数方程的普通方程为__________________。
3.已知直线与直线相交于点,又点,
则_______________。
4.直线被圆截得的弦长为______________。
七、1.曲线的参数方程是,则它的普通方程为__________________。
2.直线过定点_____________。
3.点是椭圆上的一个动点,则的最大值为___________。
4.曲线的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程为________________。
5.设则圆的参数方程为_____________
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