绵阳市高三一诊理科数学Word下载.docx

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∴a1=S1=21+1－1－2=1．……………………1分

当n≥2时，有an=Sn－Sn-1=（2n+1－n－2）－[2n－（n－1）－2]=2n－1．

……………………4分

而当n=1时，也满足an=2n－1，

∴数列{an}的通项公式为an=2n－1（n∈N*）．……………………6分

（2）∵，x、y∈N*，∴1+x=1，2，3，6，

于是x=0，1，2，5，而x∈N*，∴B={1，2，5}．……………………9分

∵A={1，3，7，15，…，2n－1}，∴A∩B={1}．……………………12分

18．∵︱x︱＜3，∴－3＜x＜3．

又x为偶数，∴x=－2，0，2，得N={－2，0，2}．……………………2分

（1）设a≥1对应的事件为A，b≥1对应的事件为B，

则P（a≥1或b≥1）=．

或P（a≥1或b≥1）=P（A）+P（B）－P（A·

B）=．

或利用对立事件解答，P（a≥1或b≥1）=1－P（a＜1且b＜1）=．

∴a≥1或b≥1的概率为．……6分

（2）x=a·

b的可能取值有－6，－4，－2，0，2，4，6．

x

－6

－4

－2

2

4

6

P

……………………9分

Ｅx=－6×

+（－4）×

+（－2）×

+0×

+2×

+4×

+6×

=0．

……………………12分

19．

（1）∵=，∴（x＞0）．……………3分

（2）∵g（x）=ax2+2x的定义域为（0，+∞）．

∵g

（1）=2+a，g（－1）不存在，∴g

（1）≠－g（－1），

∴不存在实数a使得g（x）为奇函数．……………………6分

（3）∵f（x）－x＞2，∴f（x）－x－2＞0，

即+x－2＞0，有x3－2x2+1＞0，

于是（x3－x2）－（x2－1）＞0，∴x2（x－1）－（x－1）（x+1）＞0，

∴（x－1）（x2－x－1）＞0，∴（x－1）（x－）（x－）＞0，

∴结合x＞0得0＜x＜1或．

因此原不等式的解集为{x｜0＜x＜1或．……………………12分

20．

（1）∵函数f（x）在x=1处连续，f

（1）=2×

1+1=3，

∴，3=ea，∴a=ln3．……………………5分

（2）∵对任意n有an＞1，∴f（2an－1）=2（2an－1）+1=4an－1，

于是an+1=f（2an－1）－1=（4an－1）－1=4an－2，

∴an+1－=4（an－），表明数列{an－}是以a1－=m－为首项，4为公比的等比数列，于是an－=（m－）·

4n－1，

从而an=（m－）·

4n－1+．……………………12分

21．

（1）∵（Sn－1）an－1=Sn－1an－1－an，

∴（Sn－Sn－1－1）an－1=－an，即anan－1－an－1+an=0．

∵an≠0，若不然，则an－1=0，从而与a1=1矛盾，∴anan－1≠0，

∴anan－1－an－1+an=0两边同除以anan－1，得（n≥2）．

又，∴{}是以1为首项，1为公差为等差数列，

则，．…………4分

（2）∵bn=an2=，∴当n=1时，Tn=；

当n≥2时，

.……………………8分

（3），∴．

设g（n）=，

∴

，

∴g（n）为增函数，

从而g（n）｜min=g

（1）=．……………10分

因为g（n）对任意正整数n都成立，

所以，得loga（2a－1）＜2，即loga（2a－1）＜logaa2．

①当a＞1时，有0＜2a－1＜a2，解得a＞且a≠1，∴a＞1．

②当0＜a＜1时，有2a－1＞a2＞0，此不等式无解．

综合①、②可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．……………………12分

22．

（1）设g（x）=f（x）+x，则g′（x）=f′（x）+1=．

∵a＞0，x＞0，∴g′（x）=＞0，

于是g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴g（x）＞g（0）=f（0）+0=0，f（x）+x＞0在x＞0时成立，

即a＞0，x＞0时，f（x）＞－x．………4分

（2）∵f（x）=ax－（a+1）ln（x+1），∴f′（x）=．

①a=0时，f′（x）=,∴f（x）在（－1，+∞）上单调递减,无单调增区间．

②a＞0时，由f′（x）＞0得，∴单增区间为（，+∞）．

③a＜0时，由f′（x）＞0得．

而x＞－1，∴当，即－1≤a＜0时，无单增区间；

当，即a＜－1时，－1＜x＜，单增区间为（－1，）．

综上所述：

当a＜－1时，f（x）的单调递增区间为（－1，）；

当－1≤a≤0时，

f（x）无单调递增区间；

a＞0时，f（x）的单调递增区间为（，+∞）．……………8分

（3）证明：

1）当n=2时，左边－右边=，

∴左边＜右边，不等式成立．…………9分

2）假设n=k时，不等式成立，即成立，

那么当n=k+1时，

=．

……11分

下面证明：

．

思路1利用第

（1）问的结论，得ax－ln（x+1）a+1＞－x，

所以（a+1）ln（x+1）＜（a+1）x，即ln（x+1）＜x，

因而0＜ln（k+1）＜k，所以．

以上表明，当n=k+1时，不等式成立．

根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数n都成立．……………………14分

思路2构造函数h（x）=lnx－x2（x≥3），则，

∴h（x）在[3，+∞上是减函数，则h（x）max=h（3）=ln3－＜lne2－＜0，

∴当x≥3时，lnx＜x2，即．

∵k+1∈[3，+∞，∴．

.