高中数学 12 任意角的三角函数教材梳理素材 苏教版4Word文档格式.docx
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①比值叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=;
②比值叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=;
③比值叫做α的正切,记作tanα,即tanα=.
此外,比值叫做α的余切,记作cotα=;
比值叫做α的正割,记作secα=;
比值叫做α的余割,记作cscα=.由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α,比值和都是唯一确定的,因此正弦和余弦都是角α的函数.当α=+kπ,k∈Z时,角α的终边与和-的终边相同,都落在y轴上,此时P点的横坐标x为0,比值无意义,即此时tanα无意义,除此之外,对于确定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一确定的,所以正切也是角α的函数.
正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.
联想发散函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的,三角函数的自变量是角,比值是函数值,“求正弦”“求余弦”“求正切”等是对应法则.
深化升华对于任意角的三角函数应注意以下几点:
①角是“任意角”,当β=2kπ+α(k∈Z)时,β与α的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等;
②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用.
③三角函数是以“比值”为函数值的函数;
三角函数的值的大小仅与角有关,而与终边上所取的P点的位置无关,即对于确定的角α,这些比值都不会随点P在角α的终边上的位置的改变而改变.
④r>0,但x、y的正负却随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定(今后将专门研究).
误区警示sinα、cosα、tanα等三角函数的记法表示一个整体,离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的.例如sinα并不表示“sin”与“α”的乘积,就像函数“f(x)”不表示“f”与“x”的乘积一样,sinα是一个比值,如sin,它表示的正弦值,即sin=.同理,cosα、tanα的意义也是一样的.
(2)三角函数值的符号
由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值,现在我们把锐角扩充为任意角,并且用坐标定义了任意角的三角函数,则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢?
要回答这个问题,这就用到了三角函数的定义:
sinα=;
cosα=;
tanα=.
由于r为正值,则角α的正弦值的符号与y的符号相同;
角α的余弦值的符号与x的符号相同;
角α的正切值的符号取决于x、y的符号,当x、y相同时正切值为正值,当x、y符号相异时正切值为负值.
所以,当角的终边在第一象限时,由于角α终边上点的坐标均为正值,故角α的三角函数为正值;
当角的终边在第二象限时,由于角α终边上点的纵坐标为正值,横坐标为负值,则角的正弦值为正值,其他的三角函数值为负值;
当角的终边在第三象限时,由于角α终边上点的坐标均为负值,则角的正切值为正值,其他的三角函数值为负值;
当角的终边在第四象限时,由于角α终边上点的横坐标为正值,纵坐标为负值,则角的余弦值为正值,其他的三角函数值为负值.
学法一得三角函数的符号是由角终边所在象限所确定的,要想掌握三角函数的符号,应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点.
记忆要诀综合三角函数值在各象限的符号,从取正号方面来看,可记忆为:
“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即“一全正”是指在第一象限的各三角函数值均为正;
“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值为正值;
“三正切”指的是在第三象限只有正切值为正值;
“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值为正值.
2.有向线段与三角函数线
(1)有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.类似地,可以把规定了正方向的直线称为有向直线,例如数轴就是有向直线.
当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号所得的数叫做有向线段的数量,记为AB,为了区分有向线段和它的数量,一般在有向线段前加上“有向线段”.
误区警示有向线段AB书写时不能写成BA,这种写法是错误的.这是因为在书写有向线段时,一定要将起点写在前而终点写在后.
深化升华当有向线段的方向与有向直线的方向相同时,有向线段的数量为正数;
当有向线段的方向与有向直线的方法相反时,有向线段的数量为负数.
(2)三角函数线
设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,由于角α的三角函数值与点P在角终边上的位置无关,所以为了简单起见,取r=1,即选取角α的终边与单位圆(圆心在原点O,半径等于单位长度的圆)的交点为P点,则sinα=y,cosα=x.如图1-2-3,过P(x,y)作PM⊥x轴于M,
图1-2-3
又不难得出有向线段OM、OP的长度分别为|x|、|y|.若x>0,则OM看作与x轴同向,OM具有正值x;
若x<0,OM看作与x轴反向,OM具有负值x,所以总有OM=x,同理,有MP=y,所以有sinα=MP,cosα=OM.
则有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线和余弦线.
过点A(1,0)作单位圆切线,与α角的终边(角的终边在第一或第四象限如图1-2-3中①④)或其反向延长线(角的终边在第二、三象限,如图1-2-3中①②)交于T(1,y′),则当角的终边在y轴的右侧时,tanα==y′;
当角的终边在y轴的左侧时,T(-1,-y′)在角的终边上,此时tanα==y′.又有向线段AT的长度为|y′|,当y′>0时,有向线段AT与y轴方向相同,此时有y′=AT;
当y′<0时,有向线段AT与y轴方向相反,此时有y′=AT,所以tanα==y′=AT.我们把有向线段AT叫做角α的正切线.
有向线段MP、OM、AT统称为三角函数线.
误区警示书写正弦线时,一定要注意不能写成PM,而应写成MP.这是因为三角函数线为有向线段,当线段中含有原点时,原点为起点;
当线段中不含原点时,垂足为起点,对于正切线应注意其起点坐标始终是(1,0).
当角α的终边在x轴上时,正弦线和正切线分别变成一个点;
当角α的终边在y轴上时,余弦线变为一个点,而正切线不存在.
辨析比较三角函数线都是有向线段,当它们的方向与坐标轴的方向相同时,对应的三角函数值为正值;
当它们的方向与坐标轴的方向相反时,对应的三角函数值为负值.正弦线的起点在x轴上,且与y轴平行,余弦线的起点是原点,它在x轴上,正切线的起点为(1,0),它与y轴平行.
学法一得学习三角函数线,应从它的方向和它与坐标轴的位置关系入手.
由于角的集合和实数的集合之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看作是以实数为自变量的函数,在弧度制下三角函数的定义域如下:
y=sinα
R
y=cosα
y=tanα
{α|α≠kπ+(k∈Z)}
利用三角函数线,我们可以比较两个角同名三角函数值的大小、求已知三角函数值所对应的角、解简单的三角不等式、求三角函数的定义域等.同时它也是学习三角函数的图象和性质的基础.
深化升华正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义,是从“形”的方面研究三角函数,直观、形象.
3.同角三角函数关系
(1)公式的推导
方法一:
设角α终边与单位圆交于点P,则P点的坐标为(cosα,sinα),又由OP的长度为1不难得出sin2α+cos2α=1;
由正切函数的定义,可知当α≠+kπ,k∈Z时,有tanα=.
方法二:
由于sinα=,cosα=,tanα=,cotα=,
当α≠kπ+(k∈Z)时,有=·
==tanα;
又x2+y2=r2,
所以sin2α+cos2α=()2+()2===1.
由上我们可得以下公式:
sin2α+cos2α=1,
(2)公式的变形
如:
sin2α+cos2α=1可变形为sin2α=1-cos2α、sinα=±
(α为第一、二象限角取正号;
α为第三、四象限角时取负号)等.
=tanα可变形为sinα=tanα·
cosα、cosα=等.
深化升华对于同角三角函数关系应注意:
①“同角”的概念与角的表达形式无关,它可以是正角、负角和零角,也可以是具体的角,还可以是字母或代数式.
sin23α+cos23α=1,=tan等,均成立.
②上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内才能成立.
③据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两个解的情况,因此应尽可能少用(实际上,至多只用一次).
误区警示对于同角三角函数基本关系式应以“同角”为大前提,比如sin2α+cos2β=1就不一定成立了,这是因为等式中的两个角不相同.此外等式tan=也不成立,这是因为tan不存在,因此,同角三角函数基本关系式必须在使三角函数有意义的范围内使用.
(3)公式的应用
利用同角三角函数关系:
sin2α+cos2α=1,tanα=,我们可以求值——即已知一个三角函数值求该角的其他三角函数值;
化简含有三角函数的式子和证明三角恒等式.
①求值
利用同角三角函数基本关系式求值常见的有三种类型:
1)已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限,求角α的其他三角函数值.
事实上,如果已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限,那么角α就是确定的,α的其他三角函数值也就随之确定了.解此类题的难点是如何根据角α终边所在的象限求出它的其他三角函数值,其突破点是正确运用平方根及象限角的概念.
2)已知角α的某一三角函数值,但不知角α终边所在的象限,求角α的其他的三角函数值.
事实上,如果已知角α的某一三角函数值,但不知角α终边所在的象限,那么角α的终边位置一般有两个.解此类题的难点是如何根据角的三角函数值确定角的终边位置,进而求出其他的三角函数值,其突破点还是正确运用平方根及象限角的概念.
3)已知角α的某一三角函数值是用字母给出的,且没有指定角α所在的象限,求角α的其他三角函数值.
解此类题的一般步骤是:
首先对字母分类;
其次在各类中按第
(2)类中的解法解题.
误区警示已知角α的某一三角函数值,求角α的其他三角函数值时,极易产生遗漏,比如已知sinα=,在求cosα的值时,极易得出cosα=这一错误结论.产生遗漏的原因:
一是没有确定好或不去确定角α终边的位置;
二是利用平方关系时,漏掉了负的平方根.
②化简
化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形,但要尽量把结果化成最简形式.化简的思路是:
尽可能地化为同类三角函数后再化简.
对于三角函数式的化简结果应满足下述要求:
函数的种类尽可能地少;
次数尽可能地低;
尽可能地化为积的形式;
尽可能地不含三角函数;
尽可能地将根号内的式子移到根号外.
③利用同角三角函数的关系式证
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