第七章有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验金融计量浙大 蒋岳祥Word文档下载推荐.docx
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(3)
对H0的检验我们可以将其基于沃尔德(Wald)准则:
=(4)
在假设正确时将服从自由度为J的分布(为什么?
)。
直觉上,d越大,即最小二乘满足约束的错误越大,则统计量越大,所以,一个大的值将加重对假设的怀疑。
(5)
由于σ未知,(4)中的统计量是不可用的,用s2替代σ2,我们可以导出一个F[J,(n-K)]样本统计量,令
(6)
分子是(1/J)乘(4)中的W,分母是1/(n-K)乘(5)中的幂等二次型。
所以,F是两个除以其自由度的卡方变量的比率。
如果它们是独立的,则F的分布是F[J,(n-K)],我们前边发现b是独立于s2分布的,所以条件是满足的。
我们也可以直接推导。
利用(5)及M是幂等的这一事实,我们可以把F写为
(7)
由于
F统计量是的两个二次型的比率,由于M和T都服从正态分布且它们的协方差TM为0,所以二次型的向量都是独立的。
F的分子和分母都是独立随机向量的函数,因而它们也是独立的。
这就完成了证明。
消掉(6)中的两个σ2,剩下的是检验一个线性假设的F统计量,
(8)
我们将检验统计量
和F分布表中的临界值相比较,一个大的F值是反对假设的证据。
注意:
将wald统计量中的用去替代,相应的就将J维的卡方分布转换为维度为(J,n-K)的F分布。
第二节参数带有约束的最小二乘估计
一、带有约束的最小二乘函数
在许多问题中,要求其中的未知参数β满足某特定的线性约束条件:
Rβ=q,这里R是J×
K矩阵(J<K),并假定它的秩为J维向量,常常希望求β的估计,使得
(9)
满足条件(9)的称为β的具有线性约束Rβ=q的最小二乘估计。
解的问题实际上是在约束条件
Rβ=q
下求
的限制极值点问题。
这个问题的一个拉格朗日解可写作
解b*和λ将满足必要条件
展开可以得到分块矩阵方程
或
Wd*=v
假定括号中的分块矩阵是非奇异的,约束最小二乘估计量
d*=W-1v
where
的解。
此外,若X′X是非奇异的,则用分块逆公式可以得到b*和λ的显示解
和
格林和西克斯(1991)表明b*的协方差矩阵简单地就是乘以W-1的左上块,在X′X是非奇异的通常情况下,再一次可以得到一个显性公式
,
这样,
(一个非负定矩阵),
Var[b*]的方差比Var[b]小的一个解释是约束条件提供了更多的信息价值。
二、对约束的检验的另一个方法
令,我们来计算新的离差平方和。
则新的离差平方和是
因为新的模型中参数的个数为k-J个,J个榆树条件是原模型中的J个参数可以被其他k-J个表示。
(此表达式中的中间项含有X′e,它是0)。
这说明我们可以将一个约束检验基于拟合的损失。
这个损失是,
这出现在前边推导的F统计量的分子上,我们得到统计量的另一个可选形式。
可选形式是
最后,以SST=除F的分子和分母,我们得到第三种形式,
由于两个模型的拟合之差直接体现在检验统计量中,这个形式具有一些直观吸引力。
[实例]对数变换生产函数
所有科布—道格拉斯模型的一般化是如下的对数变换模型,
(10)
无约束回归的结果在表1中给出。
表1无约束回归的结果
回归标准误差
0.17994
残差平方和
0.67993
R平方
0.95486
调整R平方
0.94411
变量
系数
标准误差
t值
常数项
0.944216
2.911
0.324
LnL
3.61363
1.548
2.334
LnK
-1.89311
1.016
-1.863
-0.96406
0.7074
-1.363
0.08529
0.2926
0.291
lnL×
lnK
0.31239
0.4389
0.71
系数估计量的估计协方差矩阵
lnL
Ln2L/2
Ln2K/2
8.472
-2.388
2.397
-0.3313
-1.231
1.033
-0.08760
-0.6658
0.5231
0.5004
0.2332
0.03477
0.02637
0.1467
0.08562
0.3635
0.1831
-0.2255
-0.2880
-0.1160
0.1927
考虑了约束条件的模型就可以得到科布一道格拉斯模型:
(11)
这是一个条件约束下的无条件的多元线性回归模型。
就可以用一般线性回归的方法求解模型。
假如我们通过有约束条件下的无条件的多元线性回归模型得到:
,而且n-K=21,则科布—道格拉斯模型假设的F统计量是
查自F分布表的5%临界值是3.07,所以我们不能拒绝科布—道格拉斯模型是适当的这一假设。
考虑了约束条件和条件的模型就是满足规模效应的科布—道格拉斯生产函数。
这个模型可以推导如下:
(12)
查自F分布表的5%临界值是2.85,所以我们不能拒绝科布—道格拉斯模型是规模效应的生产函数的这一假设。
第三节结构变化与邹至庄检验
(StructureChangeandChou-Test)
一、问题提出
我们经常碰到这样的问题。
某项政策的出台及实施,其效果如何?
不同地区或不同时期内,我们分别可以得到这两个地区或时期的观测值,我们的问题是:
这两个地区或时期的情况是否不同,经济结构有无差异。
这类问题,被华人经济学家邹至庄用构造的F检验解决了(1960年)。
这样的F检验的统计量,就称为邹至庄检验(Chou-Test)。
二、问题的模型表述
设分别表示这两个时期的观测值,允许两个时期中系数不同的无约束回归是,我们可以将其改写成一个回归方程
……
(1)
即模型,其中Y=,Z=,β=,ε=。
上述问题就转换成检验的问题。
我们可以用两种方式来处理问题
一)用约束条件,来检验。
是更一般约束条件Rβ=q的一个特殊形式,其中R=(I,-I)和q=0。
这个直接可以从基于Wald统计量的带约束条件的F检验得到。
(请自己推导)。
例题:
用约束条件下,F检验推导出邹至庄检验的表达式:
解:
在约束条件Rβ=q下,F检验
。
而邹至庄检验时约束条件Rβ=q的一种特殊形式,即R=(I,-I),而q=0,也即等同于条件。
(有2k个参数,并且是有k个约束)。
故
服从F()的分布。
另外,在考虑了约束条件后,我们可以将模型
(1)改写成一个无约束的新的回归方程
,即
即无约束的线性模型模型,其中Y=,Z=,β=,ε=。
假如模型
(2)的残差平方和是,在假设条件下,我们可以得到F统计量可更简单地表示为:
二)更直接、更容易的一个处理是将约束直接构造进模型中,若两个系数向量相同,则模型
(1)就转换为:
……
(2)
由此我们推导出可以检验的邹至庄统计量Chou-Test。
从模型
(1)中,我们可以得到无约束最小二乘估计量是
则……(3)
对于有约束条件限制的模型
(2)
则……(4)
问服从何分布?
首先证明:
故而且
同样是幂等矩阵
故且与
是独立的,所以
这个就是邹至庄检验统计量(Chou-Test)。
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