秋九年级数学上册25一元二次方程的应用教案新版湘教版Word下载.docx
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【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用,实际上是据实际题意,设未知数,列出一元一次方程求解,从而得到问题的解决.但有的实际问题,列出的方程不是一元一次方程,是一元二次方程,这就是我们本节课所研究的问题,一元二次方程的应用.
二、思考探究,获取新知
1.某省农作物秸秆资源巨大,但合理使用量十分有限,因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率,若今年的使用率为40%,计划后年的使用率达到90%,求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)
分析:
由于今年到后年间隔两年,所以问题中涉及的等量关系是:
今年的使用率×
(1+年平均增长率)2=后年的使用率
解:
设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x,则根据等量关系,可列出方程:
40%(1+x)2=90%
解得:
x1=50%,x2=-2.5
根据题意可知:
x=50%
答:
这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.
2.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.
问题中涉及的等量关系是:
原价×
(1-平均每次降价的百分率)2=现在的售价
设平均每次降价的百分率为x,则根据等量关系,可列出方程:
100(1-x)2=81
x1=10%,x2=1.9
x=10%
平均每次降价的百分率为10%.
3.“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些?
【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤:
分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.
【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P50例2.
2.一件商品的原价是121元,经过两次降价后的价格为100元.如果每次降价的百分率都是x,根据题意列方程得________.
【答案】121(1-x)2=100
3.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是多少?
本题需先设出这个增长率是x,再根据已知条件找出等量关系列出方程,求出x的值,即可得出答案.
设这个增长率是x,根据题意得:
2000×
(1+x)2=2880
x1=20%,x2=-220%(舍去)
故答案为:
20%.
4.某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元,且计划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率相同,问2013年预计经营总收入为多少万元?
设每年经营总收入的年增长率为a.
列方程,600÷
40%×
(1+a)2=2160
解方程,a1=0.2,a2=-2.2,(不符合题意,舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2,
则2013年预计经营总收入为:
600÷
(1+0.2)=600÷
1.2=1800
2013年预计经营总收入为1800万元.
5.将进货单价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,若这种商品涨价x元,则可赚得y元的利润.
(1)写出x与y之间的关系式;
(2)为了赚得8000元利润,售价应定为多少元,这时应进货多少个?
解∶
(1)商品的单价为50+x元,每个的利润是(50+x)-40元,销售量是500-10x个,则依题意得y=[(50+x)-40](500-10x),即y=-10x2+400x+5000.
(2)依题意,得-10x2+400x+5000=8000.
整理,得x2-40x+300=0.
解得x1=10,x2=30.
所以商品的单价应定为50+10=60(元)或50+30=80(元).
当商品的单价为60元时,其进货量只能是500-10×
10=400(个);
当商品每个单价为80元时,其进货量只能是500-10×
30=200(个).
6.“国运兴衰,系于教育”下图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况.
(1)由图可见,1998─2002年的五年内,我国教育经费投入呈现出________趋势;
(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元增加到2004年的7920亿元,那么这两年的教育经费平均年增长率为多少?
(1)上升或增长.
(2)设平均每年增长率为x.依题意,
5500(1+x)2=7920
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
这两年的教育经费平均年增长率为20%.
【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力,深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题2.5”中第1、2题.
教学反思
一元二次方程的应用——增长率及利润问题与我们的生活密切相关,在解决增长率问题时,要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系,掌握其规律,还应注意各种数据变化的基础,针对本节课的内容,制作了多媒体教学课件,让学生在探讨、练习中完成所学内容.
本节课中,同学们能积极投入到课堂教学中,认真思考、讨论,踊跃发言,课堂气氛活跃,在个别问题的回答上,学生大胆发言,配合默契,达到了积极的教学效果.
第2课时 一元二次方程的应用
(2)
会建立一元二次方程的模型解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的合理性作出解释.
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题,解决问题的能力,培养学生用数学的意识.
让学生进一步感受一元二次方程的应用价值,提高学生的数学应用意识.
应用一元二次方程解决实际问题.
从实际问题中建立一元二次方程的模型.
复习列方程解应用题的一般步骤:
(1)审题:
仔细阅读题目,分析题意,明确题目要求,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;
(2)设未知数:
用字母(如x)表示题中的未知数,通常是求什么量,就设这个量为x;
(3)列方程:
根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程;
(4)解方程:
求出所给方程的解;
(5)检验:
既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程,又要检验它是否能使实际问题有意义;
(6)作答:
根据题意,选择合理的答案.
2.说一说,矩形的面积与它的两邻边长有什么关系?
【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习作准备.
1.思考:
如图,在一长为40cm,宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后,折成一个无盖的长方体盒子,若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米,求截去的四个小正方形的边长.
(1)引导学生审题,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;
(2)确定本题的等量关系是:
盒子的底面积=盒子的底面长×
盒子的底面宽;
(3)引导学生根据题意设未知数;
(4)引导学生根据等量关系列方程;
(5)引导学生求出所列方程的解;
(6)检验所求方程的解的合理性;
(7)根据题意作答.
【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位,是多项式时要加括号再写单位.
2.如图,一长为32m,宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化,若已知绿化面积为540m2,求道路的宽.
本题考查了一元二次方程的应用,这类题目体现了数形结合的思想,如图,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.还要注意根据题意考虑根的合理性,从而确定根的取舍.本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(32-x)(20-x)平方米2,进而即可列出方程,求出答案.
设道路宽为x米
(32-x)(20-x)=540
x1=2,x2=50(不合题意,舍去)
∴x=2
道路宽为2米.
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°
,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点达到终点时,另一点也随之停止移动,问点P、Q出发几秒后,可使△PCQ的面积为9cm2?
设xs后,可使△PCQ的面积为9cm2.
由题意得,AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm则·
(6-x)·
2x=9.
整理,得x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.
所以P、Q同时出发,3s后可使△PCQ的面积为9cm2.
【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.
1.如图,某中学为方便师生活动,准备在长30m,宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为3∶2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,若横路宽为3xcm,则可列方程为________.
若设小路的横路宽为3xm,则纵路宽为2xm,我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路),则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2,又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三,可列方程.
则可列方程:
(30-4x)(20-6x)=×
30×
20
【答案】
2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0
D.x2-65x-350=0
【答案】B
3.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么?
(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米,则宽AD为(80-x)米.
依题意,得x·
(80-x)=750.
即,x2-80x+1500=0,
解此方程,得x1=30,x2=50.
∵墙的长度不超过45m,
∴x2=50不合题意,应舍去.
当x=30时,(80-x)=×
(80-30)=25,
所以,当所围矩形的长为30m、宽为25m时,能使矩形的面积为750m2.
(2)不能.
因为由x·
(80-x)=810得
x2-80x+1620=0.
又∵b2-4ac=(-80)2-4×
1×
1620=-80<0,
∴上述方程没有实数根.
因此,不能使所
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