21空间点直线平面之间的位置关系Word格式.docx
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2.1.1平面
1、在本小节之前的“思考”,以分析长方体的顶点、棱所在直线、侧面底面之间的位置关系问题为引子,提出本节要研究的主要问题;
空间点、直线、平面之间的位置关系。
紧接着,直线与平面平行、相交、直线在平面内等位置关系。
2、平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海面等为例,对它加以描述而不定义,教学中借助实例来引入平面的概念是必要的,但需指出几何中的平面是无限伸展的,可以联系直线的无限伸展性来理解。
教科书给出的平面画法,主要是从“直观性”来考虑的,教学时要引导学生注意:
①画的平行四边形表示的是整个平面。
需要时,可以把它延展开来,如同画直线一样,直线是可以无限延展的,但在画直线时却只画出一条线段来表示。
②加“通常”两字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面。
③两个相交平面的画法:
当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住总分的线段画成虚线或不画,以增强立体感。
3、以点作为元素,直线、平面等都是由点构成的集合,几何中许多符号的规定都出自图形视为集。
例如,在A在平面α内,记作A∈α;
点A不在平面α内,记作Aα,直线L在平面图α内,记作Lα;
直线L不在平面图α记作Lα。
本小节中使用了∈、、等代号,它们源自集合符号,但在读法上仍用几何语言。
4、平面的基本性质,即教科书中的三个公理,是研究立体图形的理论基础,要求学生充分重视。
所谓公理,就是不必证明而直接承认的真命题,它们是进一步推理的出发点和根据。
为了使学生尽快地熟悉立体几何中的各种语言表述方法,教书在给出三个公理时,同时使用了三种语言的描述。
如公理1:
文字语言的描述:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线就在正经平面内。
述:
符号语言的描述:
A∈L,B∈L,A∈α,B∈αLα
另外,在给出公理之前,先提出“思考,引导学生的思维,并结合生活中的例子说明公理所描述的事实,以帮助学生更好地领会公理。
教学中应当注意落实教科书的上述意图,引导学生通过直观感知、操作确认、理性思考,以及三种语言的描述和相互转换,经历公理的归纳,概括过程,形成对公理的完整认识。
公理1的内容反映了直线和平面关系。
从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集,这个结论阐述了两个意思:
一是整条直线在平面内,二是直线上所有点在平面内。
公理1有两方面的作用,用它既可判定直线是否在平面内,又可用直线来检验平面。
5、公理疗2的内容关系到“确定”平面的条件,应使学生透彻理解公理中“有且只有一个”的含义。
这里“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一。
公理2强调的是存在和唯一两方面。
因此,“有且只有一个”必须完整地使用,应向学生指出,不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”,否则就没有表达存在性。
公理2的教学中,应突出“经过不在一条直线上”和“三点”几个字。
可引导学生认识到经过一点,两点或同一直线上的三点可有无数个平面;
任何不在同一直线上的四个点,不一定有一个平面同时过这四个点,这样可使生学体会“经过不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。
由上述公理可以得到如下三个结论:
推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。
本教科书没有直接给出这三个推论,教学中可以把它们作为命题讨论,也可以作为公理直气壮的应用。
6、公理3指出了两个平面的位置关系,。
为了使学生准确理解这个公理,教科书以“思考”,为引子,引导学生的思维。
尽管三角板与桌面只有一个交点,但由于平面的无限延展性,“三角板所在的平面”与“桌面所在的平面”却不止交于一个点。
因此,对于不重合的两个平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线。
公理3的作用有两个:
一是作为判定两个平面相交的依据,只要是两个平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必相关于过这个点的一条直线;
二是它可以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上。
7、例1中,安排了关于图形、符号和文字表示之间互相转化的内容,这对初学立体几何的学生来说很重要的。
它有利于训练学生正确地认识和描述空间图形。
8、为了使学生更好地掌握三个公理,教学中应当多给学生提供观察实物,用三个公理进行判断的机会,特别是要充分利用长方体这个模型。
例如:
如图2—1,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,判断下命题是否正确,并说明理由
①直线AC1,在平面CC1B1B内;
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中尽分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;
③由点A,O,C可以确定一个平面;
④由A1,B1,C1确定的平面是ADC1B1;
⑤由A1,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一平面。
此处有图
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,学生对它们已有一定的感性认识。
其中相交直线和平行直线都是共面直线。
学生对它们已很熟悉。
异面直线的概念是学生比较生疏的,也是本节的重点和难点。
2、空间两条直线的位置关系,是在平面中的两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。
它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始,又是学业习这些位置关系的基础。
因此,要特别注意有一个好的开头,使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯。
3、空间两条不重合的直线有三种位置关系,教科书以“思考”以及学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题,在学生获得空间中的两条直线存在“既不相交也不平行”的位置关系的直观感知后,以长方体载体,引出异面直线的概念并以“共面”和“异面”中两直线的位置关系相协调,特别是使空间中两直线的平等与平面上两直线平行的意义保持一致。
实际上,两条直线相互平行,首先是两直线在同一平面内,其次是它们不相交。
若从有无公共点的角度看,也可以分为两类:
①有且仅有一个公共点——平行直线;
平行直线
②没有公共点:
异面直线
4、异面直线概念的教学,应遵循由具体例子到抽象概念的原则。
除了正例外,还要注意使用反例以帮助学生解析。
特别是要让学生理解“不同在任何一个平面内的两条直线”,是指这两条直线不能同在任何一个平面内,而不能由L1α、L2β,就说L1,L2一定是异面直线,两条直线是异面直线,等价于这两条直线既不相交也不平行。
教科书在第46页安排了“探究”,目的是让学生会根据异面直线的定义判断在几何体上的具有异面直线位置关系的两条直线。
教学时,可以引导学生先把图形画在纸上,复原成正方体来观察,也可以直接画出正方体的直观办,或用计算机来演示正方体的直观图。
5、公理4表明了平行的传递性,可以作为判断两条直线平行的依据,同时它还给出了空间两条直线平行的一种证法。
其重要且直接的作用是证明等角定理,为下一步研究异面直线所成角打基础。
6、“等角定理”是由平面图形推广到立体图形而得的。
因此,教科书以“思考”开始,提出能否把“等角定理”推广到空间的问题。
显了使学生形成直观认识,教科书引导学生观察长方体中的有关图形。
教学中除了使学生领会“等角定理”外,还要提醒学生,并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来,对此可用反例适当解释。
一般说,要把关于平面图形的结论推广到立体图形,必须经过证明,等角定理是定义异面直线所成角的理论基础。
7、异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而生成的。
当两条异面在线在空间的位置确定后,它们所成的角的大小也就随之而定了。
异面直线所成的角,是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角。
因此异面直线所成角的范围是[0,]。
两条异面直线互相垂直,即它们所成的角是直角,这是两条直线异面的一种特殊关系。
寻找两条异面直线a、b所成角时,要经过空间任意点O作直线a'
∥a,b'
∥b。
这里涉及经过空间任意一点如何引平行线的问题。
由公理2知:
经过一条直线(在直线上取两个点)及直线外野的一点,有且仅有一个平面。
因此,经过直线a及空间不在直线a上的一点o,可确定一个平面a,在平面α内,经过点o作a'
∥a,这样的直线a就是过直线a的直线。
通过画平行线的方式,使两条异面直线移到同一平面的位置上,是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法,这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要,要让学生在学习中认真体会。
8、教科书48页的“探究”和例3,还是以学生熟知的长方体和正方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的直线与直线之间的位置关系,使学业生初步掌握依据定议,定理对空间图形进行推理论证、计算的方法。
另外,“探究”中的第三问再资助提醒学生。
同一平面内成立的结论,不一定能够推广到空间中来。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
1、与前面的处理方法一致,教科书以生活中的实例以及长方体的载体提出了直线与平面位置关系种数问题。
教学时,除了引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系外,还可以引导他们观察教室内地面、天花板、墙面的相交线与地面只相交于一点,天花板与墙面的交线与地面没有公共点。
这反映出直线和平面间存在着不同的位置关系。
再如:
在黑板上画一直线,这条直线就在黑板面内,电线杆及加固电线杆的铁缆和地面只相交于一点;
教室里的日光灯管所在直线和地面、课桌的一边所在直线和地面都没有公共点。
这些实例都可以给学生关于直线与平面位置关系的直观感知。
在学生形成直观感知的基础上,再对这些实物做正确的抽象。
比如“地面”、“天花板”、“墙面”等,均应想象成“平面”、“电线杆”、“加固电线杆的铁缆”、“日光灯管”等,均想象成“直线”。
这样才能形成“直线”与“平面”位置关系的正确形象。
2、“思考”中有一个实际操作:
拿一支笔(看作一条直线)和一个作业本(看作一个平面),观察它们可能出现的位置关系。
通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系。
这三种情况分别对应于直线和平面的公共点的个数为:
无数个、1个、0个。
3、对于一条直线和一个平面的位置关系,在公理1中曾经提及:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线就在此平面内,即如果一条直线和一个平面有两个或两个以上的公共点,那么这条直线就在这个平面内。
现在再讨论一条直线不在一个平面内的情况,得到①一条直线和一个平面只有一个公共点,这时我们说这条直线和这个平面相交;
②一条直线和一个平面没有公共点,这时我们就这条直线和这个平面平行,于是直线和平面的位置关系可以归纳为:
1直线在平面内—有无数个公共点;
2直线和平面相交—有且只有一
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