高中数学人教版选修21同步培优作业解析含答案第二章圆锥曲线与方程 212 求曲线的方程Word格式.docx
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答案
(1)可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的,可以省略步骤说明,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤“写集合”,直接列出曲线方程.
(2)不一样.若是求轨迹则要先求出方程,再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.
题型一 直接法求曲线方程
例1 动点M与距离为2a的两个定点A,B的连线的斜率之积等于-,求动点M的轨迹方程.
解 如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).
设M(x,y)为轨迹上任意一点,则kMA=,kMB=(x≠±
a).
∵kMA·
kMB=-,
∴·
=-,
化简得:
x2+2y2=a2(x≠±
∴点M的轨迹方程为x2+2y2=a2(x≠±
反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x,y的形式F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为f(x,y)=0.要注意轨迹上的点不能含有杂点,也不能少点,也就是说曲线上的点一个也不能多,一个也不能少.
跟踪训练1 已知在直角三角形ABC中,角C为直角,点A(-1,0),点B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程.
解 如图,设C(x,y),
则=(x+1,y),=(x-1,y).
∵∠C为直角,∴⊥,即·
=0.
∴(x+1)(x-1)+y2=0.
化简得x2+y2=1.
∵A、B、C三点要构成三角形,
∴A、B、C三点不共线,∴y≠0.
∴点C的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).
题型二 定义法求曲线方程
例2 已知圆C:
(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.
解 如图,设OQ为过O点的一条弦,P(x,y)为其中点,则CP⊥OQ,设M为OC的中点,则M的坐标为(,0).
∵∠OPC=90°
,
∴动点P在以点M(,0)为圆心,OC为直径的圆上,
由圆的方程得(x-)2+y2=(0<
x≤1).
反思与感悟 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
跟踪训练2 已知定长为6的线段,其端点A、B分别在x轴、y轴上移动,线段AB的中点为M,求点M的轨迹方程.
解 作出图象如图所示,根据直角三角形的性质可知
|OM|=|AB|=3.
所以M的轨迹是以原点O为圆心,以3为半径的圆,
故点M的轨迹方程为x2+y2=9.
题型三 代入法求曲线方程
例3 已知动点M在曲线x2+y2=1上移动,点M和定点B(3,0)连线的中点为P,求点P的轨迹方程.
解 设P(x,y),M(x0,y0),
∵P为MB的中点,∴
即
又∵M在曲线x2+y2=1上,
∴(2x-3)2+4y2=1.
∴P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.
反思与感悟 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x,y)与相关动点Q(x0,y0)坐标间的关系式,且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可用所求动点P的坐标(x,y)表示相关动点Q的坐标(x0,y0),即利用x,y表示x0,y0,然后把x0,y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程.
跟踪训练3 已知△ABC的两顶点A,B的坐标分别为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线y=x2+3上运动,求△ABC重心的轨迹方程.
解 设G(x,y)为△ABC的重心,顶点C的坐标为(x′,y′),则由重心坐标公式,得
所以
因为顶点C(x′,y′)在曲线y=x2+3上,
所以3y=(3x-6)2+3,
整理,得y=3(x-2)2+1.
故点M的轨迹方程为y=3(x-2)2+1.
求曲线方程忽略限制条件致错
例4 直线l:
y=k(x-5)(k≠0)与圆O:
x2+y2=16相交于A,B两点,O为圆心,当k变化时,求弦AB的中点M的轨迹方程.
错解 设M(x,y),易知直线恒过定点P(5,0),
再由OM⊥MP,得|OP|2=|OM|2+|MP|2,
∴x2+y2+(x-5)2+y2=25,
整理得(x-)2+y2=.
正解 设M(x,y),易知直线恒过定点P(5,0),
∵点M应在圆内,∴所求的轨迹为圆内的部分.
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x=,
故点M的轨迹方程为(x-)2+y2=(0≤x<
).
易错警示
错误原因
纠错心得
错解中未注意到点M应在圆内,故所求的轨迹应为圆内的部分,此时应考虑0≤x<
.
求曲线方程时,要注意准确确定范围,能挖掘出题目中的隐含条件、限制条件,求出方程后要考虑相应的限制条件,避免考虑不全面而致错.
1.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是( )
A.一条直线B.一条直线去掉一点
C.一个点D.两个点
答案 B
解析 注意当点C与A、B共线时,不符合题意,应去掉.
2.到点(-1,0)与直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为( )
A.x2=-4y+4B.y2=-4x+4
C.x2=-8y+8D.y2=-8x+8
答案 D
解析 由已知得=|x-3|,
变形为:
y2=-8x+8,故选D.
3.下列各点中,在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是( )
A.(2,-2)B.(4,-3)
C.(3,10)D.(-2,5)
答案 C
解析 依次把四个选项代入x2-xy+2y+1,当x=3,y=10时,x2-xy+2y+1=0.故选C.
4.在第四象限内,到原点的距离为2的点M的轨迹方程是( )
A.x2+y2=4B.x2+y2=4(x>
0)
C.y=-D.y=-(0<
x<
2)
解析 设M(x,y),由|MO|=2得,x2+y2=4,
又∵点M在第四象限,∴y=-(0<
2).
5.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是__________________.
答案 (x-1)2+y2=2
解析 圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,
则|PB|2=|PA|2+r2.
∴|PB|2=2.
∴动点P的轨迹方程为:
(x-1)2+y2=2.
1.坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同.
2.一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x′,y′)等.
3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.
4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念:
求轨迹方程只要求出方程即可;
而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状.
一、选择题
1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是( )
A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9
C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3
解析 设P(x,y),由题设得=3,
∴(x-1)2+(y+2)2=9.
2.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
答案 A
解析 设中点的坐标为(x,y),则相应圆x2+y2=4上的点的坐标为(2x-4,2y+2),
所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,
即(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
3.在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0)、(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是( )
A.x2+y2=3B.x2+y2=4
C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)
解析 易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因为在△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.
4.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条曲线的交点在方程x2+y2=9的曲线上,则k等于( )
A.±
3B.0
C.±
2D.一切实数
解析 由得交点(0,-k),
将点(0,-k)代入x2+y2=9中得k=±
3.
5.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是( )
A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0
B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0
C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0
D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0
解析 由两点式,得直线AB的方程是=,即4x-3y+4=0,线段AB的长度|AB|==5.设点C的坐标为(x,y),则×
5×
=10,
即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.
6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.πB.4πC.8πD.9π
解析 设P点的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.
7.若动点P在y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程是( )
A.y=2xB.y2=2x
C.y=4x2D.x=4y2
解析 设PQ的中点为M(x,y),P(x0,y0),
则∴
又∵点P在y=2x2+1上,
∴y0=2x+1,
即2y+1=8x2+1,即y=4x2为所求的轨迹方程.
二、填空题
8.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是__________________.
答案 x+y-5=0(0≤x≤5)
解析 由截距式可得直线为+=1,则线段方程为x+y-5=0(0≤x≤5).
9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),点B在直线y=-3上,M点满足∥,·
=·
,则点M的轨迹方程是_
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