关于绝对值的几种题型及解题技巧文档格式.docx
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(2)|a|=0(a=0)(代数意义)
-a(a<0)
(3)若|a|=a,则a≥0;
若|a|=-a,则a≤0;
(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,
即|a|≥a,且|a|≥-a;
(5)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
(几何意义)
(6)|ab|=|a|·
|b|;
||=(b≠0);
(7)|a|=|a|=a;
(8)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|
一:
比较大小
典型题型:
【1】已知a、b为有理数,且,,,则()
A:
;
B:
C:
D:
这类题型的关键是画出数轴,然后将点按照题目的条件进行标记。
因为是,,,所以我们就在原点的左边标记。
如果你不知道谁在前面,你就自己找一个数字。
,。
,又因为它们都是负数,所以。
当我们把条件都标记好了,并假设了一个数值带入其中,我们就能准确地判断它们的大小了。
二:
判断点的位置或者原点的位置
经典题型
【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果,那么,点B在()
在A、C点的右边;
在A、C点的左边;
在AC点之间;
上述三种均可能·
这个题目要求从已知条件入手,判断各自的大小关系。
首先将题目进行变形:
观察一下,三个式子最后的结果是“0”,而三个式子中刚好是2个a,2个b,2个c。
只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到。
,
所以有:
,。
画出数轴:
由此可以得出B点在AC之间。
但是原点呢?
A可以是正数也可以是负数。
因此原点可以在a的左边也可以在右边。
这样原点可以在AB之间,也可以在CB之间,还可以在C的左边。
三:
已知点在数轴上的位置,简化或者计算。
典型题型
【1】实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么,化简的结果是:
2a-b;
b;
C:
-b;
-2a+b
从图中我们可以很准确地知道:
,,而且点b到原点的距离比点a到原点的距离还长,所以我们可以判断出。
如果你不知道自己是否判断对了,就采用数值法。
设。
直接开出来。
于是,原式=
【2】已知,且;
化简
虽然条件中没有给出各点所在的位置,但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。
甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。
从数轴上可以看出,。
由绝对值的性质可以得到
【3】若,则
这个题目给了a的取值范围,因此我们要对绝对值中的式子进行判断。
,所以,而。
如果你怕自己判断错误,不妨设一个数值,。
记住一定是在1和3之间取数值。
这样你就能知道自己是否判断正确了。
如果没有给定区间,我们应该如何解答呢?
【4】化简
这个题型,首先要在数轴上找出它们的零值点,也就是绝对值里面的式子必须等于“0”,由此得到:
,解得。
画数轴,然后将零值点标出,并延长其线段,再将属于零值点的式子标记上去。
以零值点为分界线,数轴右边为正,左边为负。
这样数轴就被分割成了三个部分。
第一部分:
由图上箭头方向可知:
第二部分:
第三部分:
千万记住:
取零值点!
!
四:
最小值或者最大值
【1】设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
我们知道:
绝对值是大于零的数,正数加正数会越来越大,所以,它会有最小值,而这个最小值是9+0=9.所以。
即|a+b|+9有最小值为9;
如果是9-|a+b|呢?
因为绝对值出来的数都是非负数,9减去一个非负数只能越来越小,所以,它就会有最大值9-0=9。
【2】设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?
这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数,这样所得出来的数值会越来越小。
因此它会有一个最大值-8。
小结:
这类题目关键是加法还是减法。
正数+绝对值时有最小值;
正数-绝对值时有最大值;
负数-正数时有最大值。
【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解:
如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒,为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处?
分析:
我们来分析以下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的哪一点,A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。
也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。
那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD。
最后,只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。
那么当然也就是把邮筒放在C点了。
这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”
找出零值点,3,5,2,-1,-7
|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|
这个式子有5项,以此排序-7,-1,2,3,5,故取中间项:
x=2
|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=
题后小结论:
求|x-a|+|x-a|+…+|x-a|的最小值:
当n为奇数时,把a、a、…a从小到大排列,x等于最中间的数值时,该式子的值最小。
当n为偶数时,把a、a、…a从小到大排列,x取最中间两个数值之间的数(包括最中间的数)时,该式子的值最小。
五:
求值
【1】已知;
,且,则
解:
所以:
,所以
解得:
这类题目注意条件。
只要y比x大就可以,这里y只能取4.而x可以取3和-3.因此就会有两个答案。
【2】已知,若则
因为,故此存在四种可能:
同为正,同为负,二正一负,二负一正。
(1)同为正,则24+1=25
(2)同为负,则-24+1=-23
(3)二正一负,则-24+1=-23
(4)二负一正,则24+1=25
综合:
25或者-23
【3】已知,若则
这个题目将乘法改成加法,这时,我们需要讨论的情形就要多一些。
(1)同为正数。
=2+3+4=9.所以,
(2)同为负数。
=-2-3-4=-9所以,
(3)a为正,b、c为负数
所以,
(4)a为正,b为正、c为负数
,所以,
(5)a为正,b为负、c为正数
(6)a为负,b为正、c为负数
所以,
(7)a为负,b为正、c为正数
(8)a为负,b为负、c为正数
这类题目一定要分别讨论。
最好的办法就是逐一排除。
【4】已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于1,求
a、b互为相反数,所以:
a+b=0.
c、d互为倒数,所以:
cd=1
x的绝对值等于1,所以
六:
0+0型
0+0型有集中很典型的题型
第一类:
绝对值+绝对值:
若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0;
因为绝对值出来的数都是非负数,而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.
【1】已知,求=
,所以有:
x-4=0.解得:
x=4;
y+2=0解得:
y=-2
则:
【2】若与互为相反数,求=
互为相反数的两个数之和等于0.
因此有:
+=0解得:
x-y=-3;
x+y=1999
第二类:
绝对值+平方若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
因为绝对值出来的数都是非负数,而平方数也是一个非负数,两个非负数相加等于0,则各自为0.
【2】若|x+3|+(y-1)=0,求的值
x+3=0,所以:
x=-3;
y-1=0。
y=1
讨论:
当n为偶数时:
当n为奇数时,
第三类:
平方+平方
若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
【3】已知,求
x-2=0。
所以x=2;
y+4=0,所以:
y=-4
七:
分数求和
【1】已知与互为相反数,求代数式
ab=2,b=1.a=2
=
==
【2】化简
分式求和常用解法就是裂项。
裂项、裂项,就是将一个因式分裂成两个部分,它的原理是根据异分母相加减,必须通分来分裂的。
因为分母不同,所以要通分。
分子分母同时扩大相同的倍数,其值是不变的。
一般来说,最简单的通分方法就是分母互相扩大倍数。
“2”要扩大“3”倍,而“3”要扩大“2”倍。
这样一来该题就可以变成:
==。
例题分析
【1】
=。
由此,我们得到一个结论:
如果因式分母之间的差为“1”的时候,裂项成两个分式之间相减,其分子也是“1”.最后得到第一项减去最后一项。
通项公式:
其和为:
也就是“首项—末项”。
【2】
解:
原式=()×
3×
=
从而我们得出一个通项公式:
。
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