高中数学《231抛物线及其标准方程》教案2 新人教A版选修11Word格式.docx
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(2)
2.焦点在直线上的抛物线的标准方程是.
二、讲授新课:
1、教学抛物线方程的求解
①利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.
②在求抛物线方程时,可以先根据题目的条件做出草图,确定方程的形式后再求参数的值.
2、教学例题:
(1)求抛物线方程
①出示例1:
已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上一点到焦点的距离为5,求的值、抛物线方程和准线方程.
(教师讲思路→学生板演→小结方法)
②练习:
顶点在原点,焦点在上,且过点的抛物线方程是
(2)应用抛物线方程
③出示例2:
直线与抛物线交于两点,过两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是,则梯形的面积为
(作图----抛物线方程----解决问题)
④练习:
过抛物线做倾斜角为的直线交抛物线与两点,则的长是
(3)实际应用问题
⑤一辆卡车高3,宽1.6,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍.若拱宽为,求能使卡车通过的的最小整数值.
(将实际问题转化为数学问题)
3、小结:
抛物线的定义;
抛物线的标准方程
三、巩固练习:
①.抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为
②.抛物线的准线方程是,焦点坐标是
③.点的距离比它到直线的距离大于1,求点的轨迹方程.
④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5时,水面宽为8,一木船宽4,高2,载货后木船露在水面的部分高为,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?
⑤.作业教材P69习题2.3A组3
2019-2020年高中数学《2.3.1数乘向量》教学案新人教版必修4
【学习目标】
1.掌握数与向量积的定义以及运算律,并理解其几何意义.
2.了解向量的线性运算及其其几何意义,了解两个向量共线的判定定理与性质定理..
【学习重点】实数与向量积的定义,运算律,向量共线的判定与性质.
【学习难点】理解向量共线的判定定理与性质定理.
【教材助读】
(预习教材P80—P82)
探究:
向量数乘运算与几何意义
问题1:
已知非零向量,作出:
①;
②.
通过作出图形,你能否说明它们的几何意义?
1.数乘向量
(1)定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.
(2)长度:
|λa|=|λ||a|.
(3)方向:
λa的方向
(4)几何意义:
将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍;
当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍.
2.运算律
向量的数乘运算满足下列运算律:
设λ,μ为实数,则
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=λμa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
3.共线向量定理
(1).判定定理:
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
(2).性质定理:
若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa
【预习自测】
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有( )
(1)a与-λa的方向相反;
(2)|-λa|≥|a|;
(3)a与λ2a方向相同;
(4)|-2λa|=2|λ|·
|a|.
A.1个 B.2个C.3个D.4个
【解析】 由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确.
【答案】 B
2.下列各式计算正确的是( )
A.a+b-(a+b)=2aB.2(a+b)+c=2a+b+c
C.3(a-b)+3(a+b)=0D.a+b-(b-3c)=a+3c
【解析】 A,不正确,结果应为0;
B不正确,C不正确;
D正确,故选D.
【答案】 D
3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=( )
A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b
【解析】 如图所示:
作OG∥EF交DC于G,由于DE=EO,得DF=FG.
又由AO=OC得FG=GC,于是==(-b+a),
那么=+=(a+b)+(-b+a)=a+b.
4.如果向量=i-2j,=i+mj,其中向量i、j不共线,试确定实数m的值,使A、B、C三点共线.
【解】 ∵A、B、C三点共线,即、共线,
∴存在实数λ使得=λ,即i-2j=λ(i+mj).∴i-2j=λi+λmj.
于是解得m=-2,即m=-2时,A、B、C三点共线.
【
二、课堂互动探究
【例1】计算:
(1)3(6a+b)-9(a+b);
(2)[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
【思路探究】 准确应用向量的数乘,加法、减法的运算律化简.
【自主解答】
(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=(2a+b)-a-b=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
【巩固训练】
(1)化简[(4a-3b)+b-(6a-7b)];
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求(a-b)-(a-b)+(2b-a).
【解】
(1)原式=[4a-3b+b-a+b]=[(4-)a+(-3++)b]
=(a-b)=a-b.
(2)原式=a-b-a+b+2b-a=(-1-1)a+(-1++2)b
=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)
=(-5+)i+(--)j=-i-5j.
【规律方法】
1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”、“提取公因式”,但这里的“同类项”、“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.对于线性运算,把握运算顺序为:
运算律去括号→数乘向量→向量加减.
【例2】已知两个非零向量a、b不共线,=a+b,=a+2b,=a+3b.
(1)证明:
A、B、C三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【思路探究】
(1)=-→=-→找出与的等量关系
(2)令ka+b=λ(a+kb)→利用a与b不共线,求λ、k
【自主解答】
(1)证明 由于=a+b,=a+2b,=a+3b,
则=-=a+2b-a-b=b,
而=-=a+3b-a-b=2b,
于是=2,即与共线,
又∵与有公共点A,∴A、B、C三点共线.
(2)解 由于a、b为非零向量且不共线,∴a+kb≠0.
若ka+b与a+kb共线,则必存在唯一实数λ使ka+b=λ(a+kb),
整理得:
(k-λ)a=(λk-1)b,
因为非零向量a、b不共线,
因此,∴,或,
即存在实数λ=1,使ka+b与a+kb共线,
此时k=1.或存在实数λ=-1,使ka+b与a+kb共线,
此时k=-1,因此,k=±
1都满足题意.
1.本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点,并且共线.
2.证明两个向量a与b共线时,只需证明a=λb(b≠0).若已知a与b(b≠0)共线,则可利用两向量共线的性质,得到λ1a=λ2b.
利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题,如要证A,B,C三点共线,只需证=λ或=k(λ,k∈R)等;
要证AB∥CD,只需证=λ(λ∈R).也可解决相关求参问题.
【巩固训练】已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1.若a与b共线,则( )
A.λ=0 B.e2=0C.e1∥e2D.λ=0或e1∥e2
【解析】 e1∥e2时,显然a与b共线;
若e1,e2不共线,设a=kb,则有(1-2k)e1+λe2=0,于是,即
【例3】图所示,已知▱ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且=e1,=e2,试用e1,e2表示,.
【思路探究】 解答本题可先将,视为未知量,再利用已知条件找等量关系,列方程(组),通过解方程(组)求出,.
【自主解答】 法一 设=x,则=x,
=e1-x,=e1-x,又=x,由+=得
x+e1-x=e2,解方程得x=e2-e1,即=e2-e1,
由=-,=e1-x,得=-e1+e2.
法二 设=x,=y,则=x,=-y.
由+=,+=得
用2乘以②与①相减得x-2x=e1-2e2,解得
x=(2e2-e1),即=(2e2-e1),
同理得y=(-2e1+e2),即=-e1+e2.
三、课后知能检测
一、选择题
1.已知|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,若a=λb,则λ的值为( )
A. B.-C.D.-
【解析】 由于=,且a,b反向,所以a=-b,故选B.
2.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则等于( )
A.(a-b)B.-(a-b)C.(a+b)D.-(a+b)
【解析】 ∵M是BC的中点,∴=(a+b).
【答案】 C
3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,且a、b不共线,则四边形ABCD的形状是( )
A.梯形 B.平行四边形C.菱形D.矩形
【解析】 ∵=++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)=2,∴∥,
又∵与不平行,所以四边形ABCD为梯形,故选A.
【答案】 A
4.已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D
【解析】 =+=2a+4b=2(a+2b)=2,
∴与共线,∴A、B、D三点共线.
5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A.B.C.-D.-
=+=+=+(-)=+.
所以λ=.
二、填空题
6.设a、b是两个非零向量,若8a-kb与-ka+b共线,则实数k=________.
【解析】 由题意知8a-kb=λ(-ka+b),即
∴k=±
2.
【答案】 ±
2
7.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________.(用a、b表示)
【解析】 由=3,得4=3=3(a+b).又∵=a+b,
所以=-=(a+b)-(a+b)=-a+b.
【答案】 -a+b
8.如图,△ABC中,==,若=a,=b,=λa+μb,则λ+μ________.
【解析】 ∵=-=-=(+)+
=-b-a+b=b-a.∴λ+μ=-+=0.
【答案】 0
三、解答题
9.如图所示,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点N在对角线BD上,且BN=BD.求证:
M、N、C三点共线.
【证明】 设=a,=b,
则=+=+=+(-)
=+=a+b=(a+b).
=+=+=a+b.
∴=,∴向量与共线.
又由于与有公共点M,故M、N、C三点共线.
10.设e1,e2是不共线的向量,已知向量=2e1+ke2
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