学年高中数学第一章三角函数4第1课时单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与Word格式.docx
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学年高中数学第一章三角函数4第1课时单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与Word格式.docx
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(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系
①sin(α+2kπ)=sin_α(k∈Z);
②cos(α+2kπ)=cos_α(k∈Z).
[问题思考]
1.等式sin(30°
+120°
)=sin30°
是否成立?
如果这个式子成立,那么能否说明是正弦函数y=sinx的周期?
提示:
根据三角函数的定义sin150°
=sin30°
=成立,但不能说是y=sinx的周期,在周期函数定义中,对每一个x都有f(x+T)=f(x),则T是周期,而等式sin(x+120°
)=sinx,不是对任意的x成立.如x=0°
时sin120°
≠sin0°
.
2.公式sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z;
cos(2kπ+x)=cosx,k∈Z,揭示了什么规律,有什么作用?
(1)由公式可知,三角函数的值有“周而复始”的变化规律,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次.
(2)利用此公式,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°
到360°
)角的三角函数值.
讲一讲
1.已知角α的终边在射线y=2x(x>0)上,求角α的正弦值和余弦值.
[尝试解答] 法一:
设角α的终边与单位圆的交点为P(x,y),
则y=2x(x>0).又因为x2+y2=1,
所以于是sinα=y=,cosα=x=.
法二:
在角α的终边上任取一点P(x,y)(x>0),则
OP===|x|,
又因为x>0,所以OP=x.
所以sinα===;
cosα===.
求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法:
(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义.
(2)利用正、余弦函数定义的推广:
若P(x,y)是角α终边上的任意一点,则sinα=,cosα=
练一练
1.[多维思考] 本讲中,把“射线y=2x(x>
0)”改为“直线y=2x”,求sinα,cosα.
解:
设直线y=2x与单位圆的交点为P(x,y)
则解得P(,)或(-,-).
当x>
0时,P(,),则sinα=,cosα=;
当x<
0时,P(-,-),
则sinα=-,cosα=-.
2.
(1)判断符号:
sin340°
cos265°
;
(2)若sin2α>
0,且cosα<
0,试确定α所在的象限.
[尝试解答]
(1)∵340°
是第四象限角,265°
是第三象限角,
∴sin340°
<
0,cos265°
0.
>
(2)∵sin2α>
0,
∴2kπ<
2α<
2kπ+π(k∈Z),
∴kπ<
α<
kπ+(k∈Z).
当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),
有2mπ<
2mπ+(m∈Z);
当k为奇数时,设k=(2m+1)(m∈Z).
有2mπ+π<
2mπ+(m∈Z).
∴α为第一或第三象限角.
又由cosα<
0,可知α为第三象限角.
1.正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”,即当角α的终边在x轴的上方时sinα>
0;
当角α的终边在y轴的右侧时,cosα>
2.对于确定角α所在象限的问题,应首先确定题目中所有三角函数的符号,然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限,则它们的公共象限即为所求.
3.由kπ<
θ<
kπ+(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论.
2.已知sinαcosα<
0,试写出角α所适合的集合.
∵sinαcosα<
∴或
∴α是第二或第四象限的角.
∴角α的集合为.
3.求下列三角函数值.
(1)cos(-1050°
);
(2)sin;
(3)log2(4sin1110°
).
[尝试解答]
(1)∵-1050°
=-3×
360°
+30°
,
∴-1050°
的角与30°
的角终边相同.
∴cos(-1050)°
=cos30°
=.
(2)∵-=-4×
2π+,
∴角-与角的终边相同.
∴sin=sin=.
(3)∵sin1110°
=sin(3×
=,
∴log24sin1110°
=log2=log22=1.
利用公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx,k∈Z,可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0~2π间的角的正弦、余弦函数值问题.一般步骤是:
(1)把角β写成β=2kπ+α(k∈Z)形式;
(2)求出角α的正弦或余弦;
(3)得到角2kπ+α(k∈Z)的正弦或余弦.
(1)sin(-1020°
(2)cos.
(1)∵-1020°
+60°
的角与60°
的角的终边相同.
∴sin(-1050°
)=sin60°
(2)∵-=-+=-3×
∴-角的终边和角的终边相同;
∴cos=cos=.
已知角α的终边落在直线y=-3x上,求2sinα+3cosα的值.
[错解一] 取直线上一点(1,-3),
则sinα=-3,cosα=1,
∴2sinα+3cosα=2×
(-3)+3×
1=-3.
[错解二] 取直线y=-3x与单位圆的交点
得sinα=,cosα=,
∴2sinα+3cosα=-.
[错因] 错解一,犯了两个错误,一是对正、余弦函数的定义理解有误.定义中的(x,y)须是α终边与单位圆的交点坐标,不是任意点。
二是α的终边在直线y=-3x上包括两种情况,在射线y=-3x(x≥0)上或在射线y=-3x(x≤0)上,而错解中漏掉了一种情况.
错解二只考虑了y=-3x(x≥0)时的情形,没考虑y=-3x(x≤0)时的情况.
[正解] 设α终边与单位圆交点为(x,y);
则解得或
∴2sinα+3cosα=-
或2sinα+3cosα=.
1.已知P(1,-5)是终边α上一点,则sinα等于( )
A.1 B.-5C.-D.
解析:
选C ∵x=1,y=-5,
∴r=,
∴sinα==-.
2.cos的值为( )
A.-B.-
C.D.
选D cos=cos=cos=.
3.已知θ是第三象限角,则( )
A.sinθ>
0,cosθ>
0B.sinθ>
0,cosθ<
C.sinθ<
0D.sinθ<
选D 由三角函数值在各象限的符号,易知D正确.
4.已知函数y=f(x)是周期函数,周期T=6,f
(2)=1,则f(14)=________.
f(14)=f(2×
6+2)=f
(2)=1.
答案:
1
5.sin390°
=________.
∵390°
=360°
∴sin390°
6.已知角α的终边经过点P(a,a)(a≠0),求角α的正弦、余弦.
|OP|==2|a|,
当a>
0时,sinα==,cosα==,
当a<
0时,sinα==-,cosα==-.
一、选择题
1.如果-315°
角的终边过点(2,a),则a等于( )
A.-2B.2
C.-D.±
2
选B ∵cos(-315°
)=cos45°
∴=,解得a=±
2,
又-315°
是第一象限角,
∴a=2
2.cos等于( )
A.-B.
C.-1D.1
选B cos=cos=cos=.
3.已知角α的终边过点(x,-6),若sinα=-,则x等于 ( )
A.B.-
C.±
D.±
选D sinα==-,解得x=±
4.设A是第三象限角,且|sin|=-sin,则是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
选D ∵A是第三象限角,∴是第二、四象限角.又|sin|=-sin≥0,∴sin≤0,易知为第四象限角.
二、填空题
5.sin(-330°
)=________.
sin(-330°
)=sin(-360°
6.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值范围是________.
∵cosx=|cosx|,∴cosx≥0,
∴-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
7.若点P(2m,-3m)(m<
0)在角α的终边上,则
sinα=________,cosα=________.
如右图,点P(2m,-3m)(m<
0)在第二象限,且r=-m,故有sinα===.
-
8.sin420°
cos750°
+sin(-690°
)cos(-660°
原式=sin(360°
)cos(720°
)+sin(-720°
)cos(-720°
cos30°
+sin30°
cos60°
=×
+×
=1.
三、解答题
9.已知f(x+3)=-,求证:
f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
∵f(x+6)=f[(x+3)+3]=-=-=f(x),∴f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.
10.已知cosα<
0,sinα<
(1)求角α的集合;
(2)判断sin,cos的符号.
(1)由cosα<
0可知,α的终边落在第三象限.
∴角α的集合为{α|2kπ+π<
2kπ+,k∈Z}.
(2)∵2kπ+π<
2kπ+,k∈Z,
∴kπ+<
kπ+,k∈Z,即落在第二或第四象限.
①当为第二象限角时,sin>
0,cos<
②当为第四象限角时,sin<
0,cos>
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