新教材高中数学必修第一册第4章 431对数的概念Word格式.docx
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2.因为a1=a(a>
0且a≠1),所以logaa=1.( √ )
3.logaN>
0(a>
0且a≠1,N>
0).( ×
)
4.若lnN=,则N=e.( ×
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2=;
(2)102=100;
(3)ea=16;
(4)=;
(5)log39=2;
(6)logxy=z(x>
0且x≠1,y>
0).
解
(1)log2=-2.
(2)log10100=2,即lg100=2.
(3)loge16=a,即ln16=a.
(4)log64=-.
(5)32=9.
(6)xz=y.
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:
将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:
将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;
(2)=-3;
(3)43=64;
(4)-2=16.
解
(1)由log216=4,可得24=16.
(2)由=-3,可得-3=27.
(3)由43=64,可得log464=3.
(4)由-2=16,可得=-2.
二、利用对数式与指数式的关系求值
例2 求下列各式中x的值:
(1)log64x=-;
(2)logx8=6;
(3)lg100=x.
考点 对数式与指数式的互化
题点 对数式化为指数式
解
(1)=4-2=.
(2)因为x6=8,所以
(3)10x=100=102,于是x=2.
反思感悟 要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.
跟踪训练2
(1)计算log927;
的值;
(2)求下列各式中x的值:
①log27x=-;
②logx16=-4.
解
(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,
∴2x=3,x=.
设,则=81,=34,∴=4,x=16.
(2)①∵log27x=-,
∴=3-2=.
②∵logx16=-4,
∴x-4=16,即x4==4,
∴x=.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lgx)=1;
(3)
解
(1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lgx)=1,∴lgx=31=3,∴x=103=1000.
(3)
反思感悟
(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0⇒N=1;
logaN=1⇒N=a使用频繁,应在理解的基础上牢记.
(2)符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:
跟踪训练3
(1)设,则x=.
答案 13
(2)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为( )
A.9B.8C.7D.6
答案 A
解析 ∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.
∴x=3.同理y=4,z=2.∴x+y+z=9.
1.将-2=9写成对数式,正确的是( )
A.log9=-2B.=-2
C.=9D.log9(-2)=
答案 B
解析 根据对数的定义,得=-2,故选B.
2.若logax=1,则( )
A.x=1B.a=1C.x=aD.x=10
答案 C
3.方程=的解是( )
A.x=B.x=C.x=D.x=9
题点 对数式与指数式的互化
解析 ∵=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0=1与ln1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
5.已知logx16=2,则x=.
答案 4
解析 logx16=2化成指数式为x2=16,所以x=±
4,
又因为x>
0且x≠1,所以x=4.
1.知识清单:
(1)对数的概念.
(2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化.
(4)对数的性质.
2.方法归纳:
(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化.
(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值.
3.常见误区:
易忽视对数式中底数与真数的范围.
1.有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫做常用对数;
④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确说法的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 对数的概念
题点 对数的概念
解析 ①③④正确,②不正确,只有a>
0,且a≠1时,ax=N才能化为对数式.
2.已知-lne2=x,则x等于( )
A.-1B.-2C.1D.2
解析 因为-lne2=x,
所以lne2=-x,e2=e-x,x=-2.
3.若loga=c,则下列等式正确的是( )
A.b5=acB.b=a5cC.b=5acD.b=c5a
解析 由loga=c,得ac=,
所以b=a5c.
4.下列四个等式:
①lg(lg10)=0;
②lg(lne)=0;
③若lgx=10,则x=10;
④若lnx=e,则x=e2.
其中正确的是( )
A.①③B.②④C.①②D.③④
解析 ①lg(lg10)=lg1=0;
②lg(lne)=lg1=0;
③若lgx=10,则x=1010;
④若lnx=e,则x=ee.
故只有①②正确.
5.若loga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( )
A.15B.75C.45D.225
解析 由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·
an=32×
5=45.
6.=.
答案 8
解析 设=t,则()t=81,=34,=4,t=8.
7.已知log7[log3(log2x)]=0,那么=.
答案
解析 ∵log7[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1,
∴log2x=3,∴23=x,
∴====.
8.若对数log(x-1)(2x-3)有意义,则x的取值范围是.
答案 ∪(2,+∞)
解析 由得
得x>
且x≠2.
9.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)53=125;
(2)4-2=;
(3)=-3;
(4)log3=-3.
解
(1)∵53=125,∴log5125=3.
(2)∵4-2=,∴log4=-2.
(3)∵=-3,∴-3=8.
(4)∵log3=-3,∴3-3=.
10.
(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值.
①log2x=-;
②logx3=-.
(2)已知6a=8,试用a表示下列各式.
①log68;
②log62;
③log26.
解
(1)①因为log2x=-,所以x==.
②因为logx3=-,所以=3,所以x=3-3=.
(2)①log68=a.
②由6a=8得6a=23,即=2,所以log62=.
③由=2得=6,所以log26=.
11.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为( )
A.-3B.3
C.-1或3D.1或-3
解析 由lg(x2-1)=lg(2x+2),
得x2-1=2x+2,即x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
经检验x=-1是增根,所以原方程的根为x=3.
12.的值为( )
A.6B.C.8D.
解析 =-1·
=2×
4=8.
13.若log(1-x)(1+x)2=1,则x=.
答案 -3
解析 由log(1-x)(1+x)2=1,得(1+x)2=1-x,
∴x2+3x=0,
∴x=0或x=-3.
注意到∴x=-3.
14.若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=.
答案 8或
解析 设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,
所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=23=8或x=2-1=.
15.若a>
0,=,则等于( )
A.2B.3C.4D.5
解析 因为=,a>
0,
所以a==3,
设=x,所以x=a.
所以x=3.
16.若=m,=m+2,求的值.
解 因为=m,
所以m=x,x2=2m.
因为=m+2,
所以m+2=y,y=2m+4.
所以==2m-(2m+4)=-4=16.
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