中考数学压轴题及答案40例Word文档格式.docx
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∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽△CAB
即
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=,
所以t的值是
(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小
理由:
因为抛物线的对称轴为所以A(-3,0),C(4,0)两点关于直线对称连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴,于E,所以∠QED=∠BOA=90DQ∥AB,∠BAO=∠QDE,△DQE∽△ABO即所以QE=,DE=,所以OE=OD+DE=2+=,所以Q(,)
设直线AQ的解析式为则由此得
所以直线AQ的解析式为联立
由此得所以M则:
在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小。
2.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
OB=OC,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(1)由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)…1分
将A、B、C三点的坐标代入得……………………2分
解得:
……………………3分
所以这个二次函数的表达式为:
(2)存在,F点的坐标为(2,-3)……………………4分
易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得:
AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F,坐标为(2,-3)……………………5分
(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G(2,-3),直线AG为.……………8分
设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.
……………………9分
当时,△APG的面积最大
此时P点的坐标为,.……………………10分
3.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
⑴求抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
⑴∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴设抛物线解析式为………1分
根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
⑵存在。
…………………………………………………………………………3分
由得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。
…………4分
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得,即y=4-x。
…………………………5分
又P点(x,y)在抛物线上,∴,即…………6分
解得,,应舍去。
∴。
……………………7分
∴,即点P坐标为。
……………………8分
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3)。
∴符合条件的点P坐标为或(2,3)。
……………………9分
⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,
得CB=,CD=,BD=,………………………………………………10分
∴,
∴∠BCD=90°
………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×
45°
=90°
点坐标M为(2,3),
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,………………12分
由∠BCD=90°
及题意可知,
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。
……………13分
4.已知:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<
OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC的面积;
(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;
若不存在,请说明理由.
(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8
∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC
∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0)
∴A、B、C三点的坐标分别是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8)
(2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上
∴c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式y=ax2+bx+8,得
解得
∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8
(3)∵AB=8,OC=8
∴S△ABC=×
8×
8=32
(4)依题意,AE=m,则BE=8-m,
∵OA=6,OC=8,∴AC=10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴= 即=∴EF=
过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=
∴= ∴FG=·
=8-m
∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×
8-(8-m)(8-m)
=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m
自变量m的取值范围是0<m<8
(5)存在.理由:
∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-<0,
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0)
∴△BCE为等腰三角形.
5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点的坐标;
⑴对称轴是直线:
,点B的坐标是(3,0).⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴
∴b=当时,∴
∴
⑶存在.
如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±
4.∴点M的坐标为.…9分
说明:
少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°
.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.
∴点M的坐标为.
求点M的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.
5.如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.
(1)求证:
点为线段的中点;
(2)求证:
①四边形为平行四边形;
②平行四边形为菱形;
(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?
并说明理由.
(1)法一:
由题可知.
,,
,即为的中点.
法二:
,,.
又轴,.
(2)①由
(1)可知,,
,,.,
又,四边形为平行四边形.②设,轴,则,则.
过作轴,垂足为,在中,
平行四边形为菱形.
(3)设直线为,由,得,代入得:
直线为.
设直线与抛物线的公共点为,代入直线关系式得:
,,解得.得公共点为.
所以直线与抛物线只有一个公共点.
6.如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
①CB=CE;
②D是BE的中点;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,∴m=-2×
(-2)-1=3.∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴点A的坐标为(4,0).
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为,即.
(2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,
A
B
C
O
D
E
x
y
x=2
G
F
H
则BG⊥直线x=2,BG=4.
在Rt△BGC中,BC=.
∵CE=5,
∴CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴,交y轴于H,
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EH
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