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①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0).
(1)△>0,方程ax2bxc0(a0)有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2bxc0(a0)有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2bxc0(a0)无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.
⑦幂函数yx,当n0时,仅有一个零点0,当n0时,没有零点。
5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数),函数先把fx转化成,这另fx0,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2(基本初等函数)个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点,只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:
①fx在区间上连续,且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质:
从“数”的角度看:
即是使f(x)0的实数;
从“形”的角度看:
即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;
1
x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;
若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.
9、二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)f(b)0的函数
yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
10、给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:
(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精度;
(2)求区间(a,b)的中点x1;
(3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型:
一次函数模型:
f(x)kxb(k0);
二次函数模型:
g(x)ax2bxc(a0);
幂函数模型:
h(x)axb(a0);
指数函数模型:
l(x)abxc(a0,b>0,b1)
利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型
12
扩展阅读:
高一数学必修1各章知识点总结
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第一章集合与函数概念
一、集合有关概念1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:
{}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{a,b,c}2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写
写在大括号内表示集合
的方法。
{xRx-3>
2},{xx-3>
2}
3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:
{xx2=-5}
二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={xx2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作ABA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且属义于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
ABB(或
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)金太阳新课标资源网wx.jtyjy.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.
作‘A交B’),即(读作‘A并B’),记作CSA,即AB={xxA,且即AB={xxA,xB}.或xB}).CSA={xxS,且xA}韦恩ABABS图A示图1图2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABA(CuA)(CuB)质ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={yy=x2
-2x+1,xR},N={xx≥0},则M与N的关系是.4.设集合A=x1x2,B=xxa,若
AB,则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
7.已知集合A={xx2+2x-8=0},B={xx2
-5x+6=0},C={xx2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域.注意:
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种1)平移变
换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.
>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调
减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法:
1任取x1,x2∈D,且x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.
3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
1.求下列函数的定义域:
⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为__
3.若函数f(x1)的定义域为[2,3],则函数f(2x1)的定义域是4.函数
x2(x1)2,若f(x)3,则xf(x)x(1x2)2x(x2)2=
5.求下列函数的值域:
⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]
(3)yx12x(4)y6.已知函数
f(x1)x4x,求函数
2x4x52f(x),f(2x1)的解析式
7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4,则f(x)=。
8.设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时,
f(x)x(13x),则当x(,0)时
f(x)=
f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间:
⑴
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