江西省吉安一中届高三下学期第一次模拟考试 数学理 Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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C.直线AD与OB所成的角是45°
D.二面角D-OB-A为45°
6.某同学在电脑上进行数学测试,共10道题,答完第n题(n=1,2,3,…,10)电脑都会自动显示前n题的正确率,则下列关系不可能成立的是()
A.
B.且
C.
D.
7.已知,对以下不等式
①②③④⑤,
其中成立的是()
A.①②⑤B.②③④C.②③⑤D.③④⑤
8.已知函数(a、b为常数,)在处取得最小值,则函数是()
A.奇函数且它的图象关于点对称
B.奇函数且它的图象关于点对称
C.偶函数且它的图象关于点对称
D.偶函数且它的图象关于点对称
9.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点P,O为坐标原点,若,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
10.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动(说明:
“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。
沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续。
类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。
向右为顺时针,向左为逆时针)。
设顶点p(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则关于f(x)的最小正周期T及y=f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是()
A.B.
C.D.
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.方程的根,则k=________。
12.在△ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是_________。
13.向平面区域内随机投入一点,则该点落在曲线下方的概率为_________。
14.已知数组()是1,2,3,4,5五个数的一个排列,如数组(1,4,3,5,2)是符合题意的一个排列。
规定每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有且仅有一个i使,则所有不同的数组中的各数字之和为_________。
15.①(极坐标与参数方程选讲选做题)已知点,参数,点Q在曲线C:
上,则点P与点Q之间距离的最小值为________。
②(不等式选讲选做题)若不等式,对任意的恒成立,则实数a的取值范围是___________。
三、解答题
16.(12分)已知,其中,若函数,且的对称中心到对称轴的最近距离不小于。
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)在△ABC中,分别是角A,B,C的对边,且,当取最大值时,,求△ABC的面积。
17.(12分)QQ先生的鱼缸中有7条鱼,其中6条青鱼和1条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉。
若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉1条青鱼(规定青鱼不吃鱼)。
(1)求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率;
(2)以表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数,求。
18.(12分)已知长方体中,棱,棱,连接,过B点作的垂线交于E,交于F。
(1)求证:
⊥平面EBD;
(2)求点A到平面的距离;
(3)求平面与直线DE所成角的正弦值。
19.(12分)数列的通项,其前n项和为。
(1)求;
(2),求数列的前n项和。
20.(13分)设椭圆的左右焦点分别为,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为原点),如图,若抛物线与y轴的交点为B,且经过点。
(1)求椭圆的方程;
(2)设,N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线的切线交椭圆与P,Q两点,求△MPQ面积的最大值。
21.(14分)已知函数,当时,函数取得极大值。
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)已知结论:
若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得。
试用这个结论证明:
若,函数,则对任意,都有;
(Ⅲ)已知正数,满足,求证:
当时,对任意大于-1,且互不相等的实数,都有
16.解:
(Ⅰ)
(2分)
函数的周期,由题意知,即,
又。
故的取值范围是(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的最大值为1,。
,
。
而。
(9分)
由余弦定理可知:
,又。
联立解得:
(12分)
17.解:
(1)QQ先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:
前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ先生吃掉黑鱼,其概率为
故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是。
(2)与
(1)相仿地可得,(6分)
故,故所求期望值为5。
(12分)
18.解:
(1)证:
以A为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,那么A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,1,2)、(0,1,2),,,
设,则:
=0,,,
,又平面EBD。
(4分)
(2)连接到平面的距离,即三棱锥的高,设为h,
,由
得:
,∴点A到平面的距离是。
(8分)
(3)连接DF,⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影,∠EDF是DE与平面所成的角,设,那么
①∥②
由①、②得,
在Rt△FDE中,。
∴sin∠EDF=,因此,DE与平面所成的角的正弦值是。
(几何方法略)(12分)
19.解:
(1)由于,故
故(6分)
(2),
,两式相减得
故。
20.(Ⅰ)解:
由题意可知B(0,-1),则A(0,-2),故。
令得即,则,故。
所以,于是椭圆C1的方程为:
(Ⅱ)设,由知直线PQ的方程为:
即。
代入椭圆方程整理得:
,
故
=
设点M到直线PQ的距离为d,则
所以,△MPQ的面积
当时取到“=”,经检验此时,满足题意。
综上所知,△MPQ的面积的最大值为。
21.解:
(Ⅰ)。
由,得,此时。
当时,,函数在区间(-1,0)上单调递增;
当时,,函数在区间上单调递减。
∴函数在处取得极大值,故
(Ⅱ)令,
则。
函数在上可导,∴存在,使得。
又
当时,单调递增,;
当时,,单调递减,;
故对任意,都有
(Ⅲ)用数学归纳法证明。
①当时,,且,
由(Ⅱ)得,即
∴当时,结论成立
②假设当时结论成立,即当时,
当时,设正数,满足,令,
则,且。
∴当时,结论也成立。
综上由①②,对任意,,结论恒成立。
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