第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习文档格式.docx
- 文档编号:14993032
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:414.18KB
第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习文档格式.docx
《第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习文档格式.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(二)、平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补,对角相等。
(2)平行四边形的对边平行且相等。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×
高=ah
(三)、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质
(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等
(4)矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×
宽=ab
(四)、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(2)菱形的四条边相等
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
(4)菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×
高=两条对角线乘积的一半
(五)、正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:
先证它是矩形,再证有一组邻边相等。
先证它是菱形,再证有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:
先证明它是平行四边形;
再证明它是菱形(或矩形);
最后证明它是矩形(或菱形)
4、正方形的面积
设正方形边长为a,对角线长为b
S正方形=
(六)、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地,梯形的分类如下:
一般梯形
梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质
(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。
(3)等腰梯形的对角线相等。
(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。
4、等腰梯形的判定
两腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面积
(1)如图,
(2)梯形中有关图形的面积:
①;
②;
③
6、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
二、典型例题
【例1】如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中全等三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分,可得全等三角形有:
△ABD和△CDE,△ADC和△CBA,△AOD和△BOC、△AOB和△COD.
【答案】C
【例2】如图,O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:
①S△ADE=S△EOD;
②四边形BFDE也是菱形;
③四边形ABCD的面积为EF×
BD;
④∠ADE=∠EDO;
⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
考点:
菱形的判定与性质.
分析:
①正确,根据三角形的面积公式可得到结论.
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确.
③正确,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得.
④不正确,根据已知可求得∠FDO=∠EDO,而无法求得∠ADE=∠EDO.
⑤正确,由已知可证得△DEO≌△DFO,从而可推出结论正确.
解答:
解:
①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点.
∴AE=OE.
∵S△ADE=×
AE×
OD=×
OE×
OD=S△EOD
∴S△ADE=S△EOD.
②正确
∵四边形ABCD是菱形,E,F分别是OA,OC的中点.
∴EF⊥OD,OE=OF.
∵OD=OD.
∴DE=DF.
同理:
BE=BF
∴四边形BFDE是菱形.
③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×
BD.
∴EF=AC.
∴菱形ABCD的面积=EF×
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO,而无法求得∠ADE=∠EDO.
⑤正确
∵EF⊥OD,OE=OF,OD=OD.
∴△DEO≌△DFO.
∴△DEF是轴对称图形.
∴正确的结论有四个,分别是①②③⑤,故选B.
点评:
此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力.
【例3】如图,□ABCD中,∠B、∠C的平分线交于点O,BO和CD的延长线交于E,
求证:
BO=OE.
【分析】证线段相等,可证线段所在三角形全等.可证△COE≌△COB.已知OC为公共边,∠OCE=∠OCB,又易证∠E=∠EBC.问题得证.
【证明】在□ABCD中,∵AB//CD,
∴,
又∵(角平分线定义).
又∵,
∴△≌△
∴.
说明:
证线段相等通常有两种方法:
(1)在同一三角形中证三角形等腰;
(2)不在同一三角形则证两三角形全等.本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论.
【例4】如图,在ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC于F,∠ADC=60°
,BE=2,CF=1,
求△DEC的面积.
【解】在中,,、.
在Rt△ABE中,,.
∴,.
在△中,.
故.
【例5】已知:
如图,D是等腰△ABC的底边BC上一点,DE//AC,DF//AB.
求证:
DE+DF=AB.
【分析】由于,,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰三角形的判定和性质来证.
【解】∵,
∴四边形是平行四边形.
∵,∴.
证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是:
把三条线段中较长的线段分为两段,证明这两段分别等于另两条线段.
【例6】如图,已知:
中,、相交于点,于,于,求证:
.
【分析】
【解】因为四边形是平行四边形,
所以,.
又因为、交于点,
所以.
又因为,,
于是△≌△.
从而.
【例7】已知:
如图,AB//DC,AC、BD交于O,且AC=BD。
求证:
OD=OC.
证明:
过B作交DC延长线于E,则。
∵,,
∴
∵,∴
∴∴
本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”,由于位置交错而一时用不上,为此通过作平行线,由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE,得到等腰△BDE,使问题得解.
【例8】如图6,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.
(2)解读:
四边形MFNE是平行四边形.
∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M、N分别是BE、DF的中点,∴ME=FN.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
评注:
本题是一道猜想型问题.先猜想结论,再证明其结论.
【例9】
(1)探究填空:
如果在▱ABCD中AM=AB,CN=CD,那么四边形AMCN是___;
①当AM=AB,CN=CD时,四边形AMCN是___;
②如果AM=AB,CN=CD(m>1)时,四边形AMCN是___。
(2)你能得出一个一般性的结论吧?
如果能请你写出一般性的结论,并证明
(1)根据平行四边形的性质(平行四边形的对边平行且相等)推知AB=CD、四边形AMCN的对边AM∥CN;
然后根据已知条件知四边形AMCN的对边AM=CN;
最后由平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)证得四边形AMCN是平行四边形;
(2)根据
(1)的证明过程知:
在同一平面内,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(1)∵在▱ABCD中,ABCD,且AB平行于CD
∴在四边形AMCN中,AM∥CN;
又∵AM=AB,CN=CD,
∴A
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习 第九 四边形 知识 典型 例题 巩固 练习